東北大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

割る式から $x^2=x^2-6x-12+6x+12$ である。したがって $x^2$ を $x^2-6x-12$ で割った余りは $6x+12$ であり、$a_2=6,b_2=12$ である。

(2) $x^n$ を割った余りが $a_{n}x+b_n$ であるから $x^n\equiv a_{n}x+b_n$ と書ける。両辺に x を掛けると $$x^{n+1}\equiv a_n{x}^2+b_{n}x$$ である。ここで $x^2\equiv 6x+12$ なので $$x^{n+1}\equiv a_n(6x+12)+b_{n}x=(6a_n+b_n)x+12a_n$$ である。したがって $$a_{n+1}=6a_n+b_n,b_{n+1}=12a_n$$ である。

(3)

素数 p が $a_n$ と $b_n$ の公約数であるとする。このとき、p を法として考えると $x^n$ を $x^2-6x-12$ で割った余りは 0 である。つまり、係数を p で割った余りだけで考えると、$x^2-6x-12$ は $x^n$ を割り切る。

ところが $x^n$ の因数は x だけからできているので、$x^n$ を割り切る最高次係数1の2次式は $x^2$ に限られる。したがって $x^2-6x-12\equiv x^2$ でなければならない。よって $6\equiv 0,12\equiv 0$ を同時に満たす素数 p だけが候補であり、$p=2,3$ である。

逆に $p=2,3$ のときは $x^2-6x-12\equiv x^2$ である。$n\geqq 2$ では $x^n$ は $x^2$ で割り切れるから、余りは 0 であり、$a_n,b_n$ はともに p で割り切れる。したがって求める素数は $2,3$ である。

余りの係数は2次元の漸化式として更新される。

前半は主解法と同じ漸化式を作る。(3)では、$p\mathrm{\ne }2,3$ が $a_n,b_n$ を割ると仮定し、$b_n=12a_{n-1}$ から1段ずつ $a_{n-1},b_{n-1}$ へ遡る。最後に初期値 $(a_2,b_2)=(6,12)$ と矛盾させる。

(1) $$x^2=(x^2-6x-12)+(6x+12)$$だから$$a_2=6,b_2=12.$$(2) 合同式$$x^n\equiv a_{n}x+b_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^2-6x-12)$$に $x$ を掛け、$x^2\equiv 6x+12$ を用いると$$x^{n+1}\equiv (6a_n+b_n)x+12a_n\mathrm{.}$$よって$$a_{n+1}=6a_n+b_n,b_{n+1}=12a_n\mathrm{.}$$(3) 素数 $p$ が $a_n,b_n$ をともに割るとする。$p\mathrm{\ne }2,3$ なら $12$ は $p$ で割り切れない。漸化式$$b_n=12a_{n-1}$$から $p\mid a_{n-1}$ であり、$$a_n=6a_{n-1}+b_{n-1}$$から $p\mid b_{n-1}$ でもある。同じ議論を繰り返すと$$p\mid a_2,p\mid b_2\mathrm{.}$$しかし $a_2=6,b_2=12$ なので、そのような $p\mathrm{\ne }2,3$ は存在しない。

逆に $p=2,3$ では初期値 $a_2,b_2$ がともに $p$ の倍数であり、漸化式からすべての $n\geqq 2$ で $a_n,b_n$ も $p$ の倍数になる。したがって求める素数は$$2,3$$である。