東北大学 2000年度 後期日程理系（後期）数学 第3問

(1)
与えられた漸化式は$$a_{n+1}=\{1+\sqrt{3}(1-{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{\sqrt{2}}})\}{a}_n$$である。右辺を展開して $a_{n+1}$ を左辺へ集めると $$a_{n+1}=(1+\sqrt{3})a_n-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{a}_n{a}_{n+1}$$ だから $$a_{n+1}(1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{a}_n)=(1+\sqrt{3})a_n$$ である。よって$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3})a_n}{1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{a}_n}}={\displaystyle \frac{2(1+\sqrt{3})a_n}{2+\sqrt{6}{a}_n}}$$である。

ここで $$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{\sqrt{2}-a_n}}$$ とおく。すると$$\sqrt{2}-a_{n+1}=\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{2(1+\sqrt{3})a_n}{2+\sqrt{6}{a}_n}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{3}{a}_n-2a_n-2\sqrt{3}{a}_n}{2+\sqrt{6}{a}_n}}={\displaystyle \frac{2(\sqrt{2}-a_n)}{2+\sqrt{6}{a}_n}}$$である。したがって$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{\sqrt{2}-a_{n+1}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2(1+\sqrt{3})a_n}{2+\sqrt{6}{a}_n}}}{{\displaystyle \frac{2(\sqrt{2}-a_n)}{2+\sqrt{6}{a}_n}}}}=(1+\sqrt{3}){\displaystyle \frac{a_n}{\sqrt{2}-a_n}}$$である。よって $b_{n+1}=(1+\sqrt{3})b_n$ である。

(2) $$b_1={\displaystyle \frac{a_1}{\sqrt{2}-a_1}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}}=1+\sqrt{2}$$ である。(1)より $b_n$ は公比 $1+\sqrt{3}$ の等比数列だから $$b_n=(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{3}{)}^{n-1}$$ である。

また $b_n=a_n\mathrm{/}(\sqrt{2}-a_n)$ から $b_n(\sqrt{2}-a_n)=a_n$ すなわち $$a_n={\displaystyle \frac{\sqrt{2}{b}_n}{1+b_n}}$$ である。したがって$$a_n={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{3}{)}^{n-1}}{1+(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{3}{)}^{n-1}}}$$である。

(3) $1+\sqrt{3}>1$ なので $$b_n=(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{3}{)}^{n-1}\to \mathrm{\infty }$$ である。したがって $$a_n={\displaystyle \frac{\sqrt{2}{b}_n}{1+b_n}}\to \sqrt{2}$$ であり、求める極限値は $\sqrt{2}$ である。

指定の $b_n$ を使わず、まず逆数 $u_n=1\mathrm{/}{a}_n$ の一次漸化式へ変換する。不動点からの差を等比数列にする。

(1)
与式を $a_{n+1}$ について解くと$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3})a_n}{1+\sqrt{3\mathrm{/}2}{a}_n}}\mathrm{.}$$ここで $u_n=1\mathrm{/}{a}_n$ とおけば$$u_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n}{1+\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3\mathrm{/}2}}{1+\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$この一次変換の不動点は $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ なので$$u_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{3}}}(u_n-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})\mathrm{.}$$$u_1=1$ から$$u_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+(1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})(1+\sqrt{3}{)}^{-(n-1)}\mathrm{.}$$(2)
逆数を取って整理すると$$a_n={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{3}{)}^{n-1}}{1+(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{3}{)}^{n-1}}}\mathrm{.}$$また$$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{\sqrt{2}-a_n}}$$へこの式を代入すれば$$b_n=(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{3}{)}^{n-1},b_{n+1}=(1+\sqrt{3})b_n\mathrm{.}$$(3)
最後に $u_n\to 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\sqrt{2}\mathrm{.}$$