東北大学 2000年度 後期日程理系（後期）数学 第1問

(1)
曲線 $y=r{e}^{rx}$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=r^2{e}^{rx}$ である。点 $P(a,b)$ は曲線上にあるから $b=r{e}^{ra}$ である。また、$P$ における接線の傾きは $r^2{e}^{ra}$ である。接線が原点を通るので、その傾きは直線 $OP$ の傾き $b\mathrm{/}a$ に等しい。したがって $${\displaystyle \frac{b}{a}}=r^2{e}^{ra}$$ である。ここへ $b=r{e}^{ra}$ を代入すると $${\displaystyle \frac{r{e}^{ra}}{a}}=r^2{e}^{ra}$$ であり、$r>0$、$e^{ra}>0$ より $a={\displaystyle \frac{1}{r}}$ を得る。よって $b=r{e}^{r\cdot (1\mathrm{/}r)}=re$ である。

(2)
(1)より、領域 $S$ は $$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{r}},0\leqq y\leqq r{e}^{rx}$$ である。これを $x$ 軸のまわりに回転すると、円板法により $$V_1=\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}r}(r{e}^{rx}{)}^{2}dx=\pi r^2{\int }_0^{1\mathrm{/}r}{e}^{2rx}dx$$ である。したがって$$V_1=\pi r^2{\left[{\displaystyle \frac{e^{2rx}}{2r}}\right]}_0^{1\mathrm{/}r}={\displaystyle \frac{\pi r(e^2-1)}{2}}$$である。

一方、$y$ 軸のまわりに回転すると、半径 $x$、高さ $r{e}^{rx}$ の円筒殻で $$V_2=2\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}r}xr{e}^{rx}dx$$ である。$u=rx$ とおくと$${\int }_0^{1\mathrm{/}r}xr{e}^{rx}dx={\displaystyle \frac{1}{r}}{\int }_0^{1}u{e}^{u}du={\displaystyle \frac{1}{r}}{[e^u(u-1)]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{r}}$$なので $$V_2={\displaystyle \frac{2\pi }{r}}$$ である。 $V_1=V_2$ より $${\displaystyle \frac{\pi r(e^2-1)}{2}}={\displaystyle \frac{2\pi }{r}}$$ である。$r>0$ だから $r^2={\displaystyle \frac{4}{e^2-1}}$ となり、求める値は $$r={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{e^2-1}}}$$ である。

$a,b$ を接線条件から決めた後、$y$ 軸回転の体積を水平切片の円環で求める。円筒殻を使わない検算になる。

(1)
$P(a,b)$ は曲線上にあるから $b=r{e}^{ra}$。接線の傾きは $r^2{e}^{ra}$ であり、
接線が原点を通るので$${\displaystyle \frac{b}{a}}=r^2{e}^{ra}\mathrm{.}$$両式から$$a={\displaystyle \frac{1}{r}},b=re\mathrm{.}$$(2)
$x$ 軸回転では$$V_1=\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}r}{r}^2{e}^{2rx}dx={\displaystyle \frac{\pi r(e^2-1)}{2}}\mathrm{.}$$$y$ 軸回転を水平切片で考える。$0\leqq y\leqq r$ では半径 $1\mathrm{/}r$ の円板、
$r\leqq y\leqq re$ では外半径 $1\mathrm{/}r$、内半径$$x={\displaystyle \frac{1}{r}}\log {\displaystyle \frac{y}{r}}$$の円環になる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{r^2}}{\int }_0^{r}dy+{\displaystyle \frac{\pi }{r^2}}{\int }_r^{re}\{1-{(\log {\displaystyle \frac{y}{r}})}^2\}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{r}}+{\displaystyle \frac{\pi }{r}}{\int }_0^1(1-u^2)e^{u}du={\displaystyle \frac{2\pi }{r}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $V_1=V_2$ から$$r={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{e^2-1}}}\mathrm{.}$$