東北大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=e^t+e^{-t}>0$$ であるから、$x$ は $t$ の増加関数であり、曲線は $x$ の関数として表せる。 $$(e^t+e^{-t}{)}^2=(e^t-e^{-t}{)}^2+4=x^2+4$$ であり、$e^t+e^{-t}>0$ だから $$e^t+e^{-t}=\sqrt{x^2+4}$$ である。また $$e^{3t}+e^{-3t}=(e^t+e^{-t})\{(e^t-e^{-t}{)}^2+1\}$$ なので $$y=(x^2+1)\sqrt{x^2+4}$$ である。

これを微分すると $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{3x(x^2+3)}{\sqrt{x^2+4}}}$$ である。したがって $x<0$ で減少、$x=0$ で極小、$x>0$ で増加する。さらに $$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{6(x^4+6x^2+6)}{(x^2+4{)}^{3\mathrm{/}2}}}>0$$ であるから、曲線は常に下に凸である。頂点は $(0,2)$ であり、$y$ は偶関数なのでy軸対称である。

(2)
求める面積は $${\int }_{-1}^1(x^2+1)\sqrt{x^2+4}dx$$ である。ここで $x=e^t-e^{-t}$ とおくと $dx=(e^t+e^{-t})dt$ であり、$x=1$ に対応する正の $t$ を $u$ とすると $e^u-e^{-u}=1$ である。

媒介変数のまま面積を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}ydx}& {\displaystyle ={\int }_{-u}^u(e^{3t}+e^{-3t})(e^t+e^{-t})dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-u}^u\{e^{4t}+e^{-4t}+e^{2t}+e^{-2t}\}dt\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $e^u-e^{-u}=1$ より $$\sinh u={\displaystyle \frac{1}{2}},\cosh u={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$$ である。したがって $$\sinh 2u=2\sinh u\cosh u={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}},\cosh 2u={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ であり、$$\sinh 4u=2\sinh 2u\cosh 2u={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2}}$$ である。積分値は $$\sinh 4u+2\sinh 2u={\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2}}+\sqrt{5}={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{2}}$$ である。

【曲線 $$y=(x^2+1)\sqrt{x^2+4}$$】

媒介変数のまま $dy\mathrm{/}dx=(dy\mathrm{/}dt)\mathrm{/}(dx\mathrm{/}dt)$ と $d^{2}y\mathrm{/}d{x}^2$ を計算し、$t$ の符号から増減を読む。面積も $y(dx\mathrm{/}dt)$ を $[-u,u]$ で積分する。

(1) $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=e^t+e^{-t}>0,{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=3(e^{3t}-e^{-3t})\mathrm{.}$$したがって $dy\mathrm{/}dx$ の符号は $t$ の符号と一致し、$t<0$ で減少、$t>0$ で増加する。$t=0$ では $(x,y)=(0,2)$ である。$$e^t+e^{-t}=\sqrt{x^2+4}$$ と$$e^{3t}+e^{-3t}=(e^t+e^{-t})(x^2+1)$$から$$y=(x^2+1)\sqrt{x^2+4}\mathrm{.}$$二階微分は$${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}={\displaystyle \frac{6(x^4+6x^2+6)}{(x^2+4{)}^{3\mathrm{/}2}}}>0$$なので常に下に凸である。

(2)
$x=1$ に対応する $u>0$ は $\sinh u=1\mathrm{/}2$ を満たす。面積は$${\int }_{-u}^u(e^{3t}+e^{-3t})(e^t+e^{-t})dt=\sinh 4u+2\sinh 2u={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}$$