東北大学 2001年度 前期日程文系数学 第1問

共通接線を $y=mx+n$ とおく。

まず $C:y=-(x+1{)}^2$ に接する条件を求める。交点の $x$ 座標は $-(x+1{)}^2=mx+n$ すなわち $x^2+(m+2)x+(n+1)=0$ をみたす。この2次方程式が重解をもてば接するので $(m+2{)}^2-4(n+1)=0$ である。

次に $D:y=(x-1{)}^2+1$ については $(x-1{)}^2+1=mx+n$ すなわち $x^2-(m+2)x+(2-n)=0$ が重解をもてばよい。したがって $(m+2{)}^2-4(2-n)=0$ である。

2つの条件を連立すると $4(n+1)=4(2-n)$ より $n={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり、さらに $(m+2{)}^2=6$ だから $m=-2\pm \sqrt{6}$ である。よって2本の共通接線は $$y=(-2+\sqrt{6})x+{\displaystyle \frac{1}{2}},y=(-2-\sqrt{6})x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

次に面積を求める。2本の接線は点 $(0,1\mathrm{/}2)$ で交わる。$C$ との接点の $x$ 座標は、$C$ の接線の傾きが $-2(x+1)$ であることから $$-2(x+1)=-2+\sqrt{6}\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$$ および $$-2(x+1)=-2-\sqrt{6}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$$ である。

したがって、求める領域では左側 $-\sqrt{6}\mathrm{/}2\leqq x\leqq 0$ の上側が傾き $-2+\sqrt{6}$ の接線、右側 $0\leqq x\leqq \sqrt{6}\mathrm{/}2$ の上側が傾き $-2-\sqrt{6}$ の接線である。よって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{6}\mathrm{/}2}^0\{(-2+\sqrt{6})x+{\displaystyle \frac{1}{2}}+(x+1{)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_0^{\sqrt{6}\mathrm{/}2}\{(-2-\sqrt{6})x+{\displaystyle \frac{1}{2}}+(x+1{)}^2\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$ここで第1の被積分関数は $x^2+\sqrt{6}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$ 第2の被積分関数は $x^2-\sqrt{6}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。対称性を用いれば $$S=2{\int }_0^{\sqrt{6}\mathrm{/}2}(x^2-\sqrt{6}x+{\displaystyle \frac{3}{2}})dx$$ である。計算すると$$S=2{[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x]}_0^{\sqrt{6}\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$$となる。したがって面積は ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$ である。

放物線 $C,D$ 上の接点をそれぞれ $s,t$ とし、
接線を接点の座標で表す。2本が同一直線になる条件から $s,t$ を決め、
面積は接線との差が接点を二重根にもつ2次式になることを使う。

放物線 $C$ の $x=s$ における接線は$$y=-2(s+1)x+s^2-1.$$放物線 $D$ の $x=t$ における接線は$$y=2(t-1)x-t^2+2.$$両者が同じ直線になる条件は$$-2(s+1)=2(t-1),s^2-1=-t^2+2.$$よって $t=-s,s^2=3\mathrm{/}2$ となる。したがって2本の共通接線は$$y=(-2+\sqrt{6})x+{\displaystyle \frac{1}{2}},y=(-2-\sqrt{6})x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$接線と $C$ の差は、接点を二重根にもつので、右側では$$\{(-2-\sqrt{6})x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\}-\{-(x+1{)}^2\}={(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}})}^2,$$左側ではその $x$ を $-x$ に替えた式になる。したがって面積は$$2{\int }_0^{\sqrt{6}\mathrm{/}2}{(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}})}^{2}dx={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\mathrm{.}$$