東北大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

曲線 $C:y=-x^2$ と曲線 $D:y=(x-a{)}^2+b$ の接点の $x$ 座標を $t$ とする。接しているので、接点での傾きが等しい。$C$ の傾きは $-2t$、$D$ の傾きは $2(t-a)$ だから $2(t-a)=-2t$ である。よって $$t={\displaystyle \frac{a}{2}}$$ である。

また接点での $y$ 座標も等しいので $${({\displaystyle \frac{a}{2}}-a)}^2+b=-{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{a^2}{4}}+b=-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ より $$b=-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$$ である。よって $$D:y=(x-a{)}^2-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}=x^2-2ax+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$$ となる。

次に $$E:y={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1{)}^2+1={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E-D}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x+{\displaystyle \frac{3}{2}})-(x^2-2ax+{\displaystyle \frac{a^2}{2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+(2a-1)x+{\displaystyle \frac{3-a^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\{x^2-(4a-2)x+a^2-3\}}\end{array}$$である。

2つの曲線が囲む部分は、$E-D\geqq 0$ となる2つの交点の間にある。2次方程式 $x^2-(4a-2)x+a^2-3=0$ の判別式を $\mathrm{\Delta }$ とすると $$\mathrm{\Delta }=(4a-2{)}^2-4(a^2-3)=4(3a^2-4a+4)$$ である。2つの根の差は $$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=2\sqrt{3a^2-4a+4}$$ である。

一般に、根を $\alpha <\beta$ とすると $$E-D={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-\alpha )(\beta -x)$$ であるから、面積 $S$ は$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-\alpha )(\beta -x)dx={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{12}}$$である。したがって $$S={\displaystyle \frac{\{2\sqrt{3a^2-4a+4}{\}}^3}{12}}={\displaystyle \frac{2}{3}}(3a^2-4a+4{)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}$$ である。

よって $S$ を最小にするには $3a^2-4a+4$ を最小にすればよい。平方完成すると $$3a^2-4a+4=3{(a-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+{\displaystyle \frac{8}{3}}$$ であるから、最小となるのは $a={\displaystyle \frac{2}{3}}$ のときである。このとき $$b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2=-{\displaystyle \frac{2}{9}}$$ であり、面積は $$S={\displaystyle \frac{2}{3}}{\left({\displaystyle \frac{8}{3}}\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}={\displaystyle \frac{32\sqrt{6}}{27}}$$ である。したがって $$a={\displaystyle \frac{2}{3}},b=-{\displaystyle \frac{2}{9}},S={\displaystyle \frac{32\sqrt{6}}{27}}$$ である。

条件・検算

$3a^2-4a+4>0$ はすべての実数 $a$ で成り立つため、曲線 $D,E$ は常に異なる2点で交わり、面積式を全実数 $a$ で用いてよい。

接触条件から $b=-a^{{\displaystyle \frac{2}{2}}}$ を得る。曲線の差を交点の中点へ平行移動し、幅 $2R$ の下向き放物線 $\{R^2-u^2\}\mathrm{/}2$ として面積を一度に積分する。

曲線 $C,D$ の接点で値と傾きが一致することから$$b=-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$D:y=x^2-2ax+{\displaystyle \frac{a^2}{2}},E:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$差を平方完成すると$$E-D={\displaystyle \frac{1}{2}}\{R^2-(x-2a+1{)}^2\},R^2=3a^2-4a+4.$$よって囲まれる部分は$$-R\leqq u=x-2a+1\leqq R$$に対応し、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-R}^R(R^2-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{R}^3={\displaystyle \frac{2}{3}}(3a^2-4a+4{)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$3a^2-4a+4=3{(a-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+{\displaystyle \frac{8}{3}}$$だから、最小値は $$a={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ のときに生じる。このとき$$b=-{\displaystyle \frac{2}{9}},S={\displaystyle \frac{32\sqrt{6}}{27}}\mathrm{.}$$