東北大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $C_1$ を $x$ 軸方向へ $a$ だけ平行移動した曲線は $C_2:y=(x-a{)}^3-3(x-a)$ である。2曲線の差を取ると $$\{x^3-3x\}-\{(x-a{)}^3-3(x-a)\}=a(3x^2-3ax+a^2-3)$$ である。$a>0$ だから、交点の個数は $3x^2-3ax+a^2-3=0$ の実数解の個数で決まる。この2次方程式の判別式は $$(-3a{)}^2-4\cdot 3(a^2-3)=36-3a^2$$ である。異なる2点で交わるための条件はこれが正であることなので、$36-3a^2>0$ すなわち $0<a<2\sqrt{3}$ である。

この範囲で、2つの交点の $x$ 座標を $\alpha <\beta$ とする。$u=x-a\mathrm{/}2$ とおくと、$$3x^2-3ax+a^2-3=3u^2+{\displaystyle \frac{a^2}{4}}-3=3(u^2-h^2)$$ ただし $$h^2=1-{\displaystyle \frac{a^2}{12}}={\displaystyle \frac{12-a^2}{12}}$$ である。したがって $\alpha =a\mathrm{/}2-h$, $\beta =a\mathrm{/}2+h$ である。 $\alpha <x<\beta$ では $u^2-h^2<0$ だから、$C_1-C_2<0$ であり、上側は $C_2$、下側は $C_1$ である。よって面積は$$S(a)={\int }_{\alpha }^{\beta }\{C_2-C_1\}dx=3a{\int }_{-h}^h(h^2-u^2)du$$である。計算すると $$S(a)=3a{[h^{2}u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_{-h}^h=4a{h}^3$$ であり、$$h={\displaystyle \frac{\sqrt{12-a^2}}{2\sqrt{3}}}$$ だから $$S(a)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{18}}a(12-a^2{)}^{3\mathrm{/}2}$$ である。

(2) $0<a<2\sqrt{3}$ において $$S(a)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{18}}a(12-a^2{)}^{3\mathrm{/}2}$$ である。正の定数を除いて $F(a)=a(12-a^2{)}^{3\mathrm{/}2}$ を最大にすればよい。微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(a)=(12-a^2{)}^{3\mathrm{/}2}-3a^2(12-a^2{)}^{1\mathrm{/}2}=(12-a^2{)}^{1\mathrm{/}2}(12-4a^2)$$ である。したがって内部の臨界点は $a=\sqrt{3}$ である。$a\to 0+$ および $a\to 2\sqrt{3}-$ では $S(a)\to 0$ であり、$F^{\mathrm{\prime }}(a)$ は $a<\sqrt{3}$ で正、$a>\sqrt{3}$ で負だから、ここで最大になる。

よって $$S_{\max }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{18}}\cdot \sqrt{3}\cdot 9^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{9}{2}}$$ である。

条件・検算

交点が異なる条件を判別式で確認し、面積の端点極限と増減から最大値の大域性を示した。