東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

$x>1$ で $$f(x)=2x^2\log x-x^2-ax(x-2)$$ を微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =4x\log x+2x-2x-a(2x-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4x\log x-2ax+2a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\{2x\log x-a(x-1)\}}\end{array}$$である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $$a={\displaystyle \frac{2x\log x}{x-1}}$$ と同値である。

ここで $$h(x)={\displaystyle \frac{2x\log x}{x-1}}(x>1)$$ とおく。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(\log x+1)(x-1)-2x\log x}{(x-1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(x-1-\log x)}{(x-1{)}^2}}}\end{array}$$である。$x>1$ では $x-1>\log x$ が成り立つので $h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。よって $h(x)$ は単調増加する。

また、$x$ を1に近づけると $\log x$ は $x-1$ に近いので $h(x)\to 2$ である。さらに $x\to \mathrm{\infty }$ では $h(x)\to \mathrm{\infty }$ である。したがって $h(x)$ の値域は $(2,\mathrm{\infty })$ である。

ゆえに $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ の解は、$a>2$ のときただ1つ存在し、$a\leqq 2$ のとき存在しない。

最後に、$a>2$ のときの臨界点が極小を与えることを確認する。臨界点では $$a={\displaystyle \frac{2x\log x}{x-1}}$$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =4\log x+4-2a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\log x+4-{\displaystyle \frac{4x\log x}{x-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4(1-{\displaystyle \frac{\log x}{x-1}})>0}\end{array}$$である。したがって、その臨界点は極小点であり、極小値は1個生じる。

よって $x>1$ における極小値の個数は$$\{\begin{array}{ll}0& (a\leqq 2),\\ 1& (a>2)\end{array}$$である。

臨界点を決める単調関数

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-1)\{h(x)-a\}$ と分解し、$h(x)=2x\log x\mathrm{/}(x-1)$ の値域を調べて符号変化を直接読む。これにより極小判定を二階微分なしでも行う。

$x>1$ で$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\{2x\log x-a(x-1)\}=2(x-1)\{{\displaystyle \frac{2x\log x}{x-1}}-a\}\mathrm{.}$$$$h(x)={\displaystyle \frac{2x\log x}{x-1}}$$と置くと$$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x-1-\log x)}{(x-1{)}^2}}>0.$$さらに$$\underset{x\to 1+0}{\lim }h(x)=2,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }h(x)=\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$したがって値域は $(2,\mathrm{\infty })$ である。

$a\leqq 2$ なら常に $h(x)-a>0$ なので $f^{\mathrm{\prime }}>0$、極小値は0個。$a>2$ なら $h(x)=a$ はただ1解をもち、その前で $f^{\mathrm{\prime }}<0$、後で $f^{\mathrm{\prime }}>0$ となる。よって極小値は1個である。$$\{\begin{array}{ll}0& (a\leqq 2),\\ 1& (a>2)\mathrm{.}\end{array}$$