東北大学 2001年度 後期日程理系（後期）数学 第4問

(1) $B$ の列ベクトルに注目する。$AB=BC$ より$$A\left(\begin{array}{c}1\\ x\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{c}1\\ x\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}1\\ y\end{array}\right)=y\left(\begin{array}{c}1\\ y\end{array}\right)$$である。

一般に$$A\left(\begin{array}{c}1\\ \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ -a+(a+1)\lambda \end{array}\right)$$である。これが$$\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ {\lambda }^2\end{array}\right)$$に等しいためには $${\lambda }^2-(a+1)\lambda +a=0$$ でなければならない。この方程式は $$(\lambda -1)(\lambda -a)=0$$ である。 $a<1$ かつ $y<x$ より、大きい方が $x$、小さい方が $y$ である。したがって $x=1,y=a$ となり、$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& a\end{array}\right)$$である。

(2) $$B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& a\end{array}\right)$$より、$a<1$ だから $a-1\mathrm{\ne }0$ であり、$$B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{a-1}}\left(\begin{array}{cc}a& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$$である。

(1) の関係から$$AB=B\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& a\end{array}\right)$$である。両辺の右から $B^{-1}$ を掛けると$$A=B\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& a\end{array}\right)B^{-1}$$であるから、これを $n$ 回掛ければ$$A^n=B\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& a^n\end{array}\right)B^{-1}$$である。右辺を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^n}& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& a^n\end{array}\right){\displaystyle \frac{1}{a-1}}\left(\begin{array}{cc}a& -1\\ -1& 1\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{a-1}}\left(\begin{array}{cc}1& a^n\\ 1& a^{n+1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& -1\\ -1& 1\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{a-1}}\left(\begin{array}{cc}a-a^n& -1+a^n\\ a-a^{n+1}& -1+a^{n+1}\end{array}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$である。

(3)

定義より$$\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ p_{n+1}\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}b\\ c\end{array}\right)$$である。したがって(2)から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(a-a^n)b+(-1+a^n)c}{a-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{c-ab}{1-a}}+{\displaystyle \frac{a^n(c-b)}{a-1}}}\end{array}$$である。

まず $-1<a<1$ のとき、$a^n\to 0$ であるから、任意の実数 $b,c$ について $p_n$ は収束し $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{c-ab}{1-a}}$$ である。

次に $a\leqq -1$ のとき、$a^n$ は0に収束しない。したがって $p_n$ が収束するためには、$a^n$ の係数が0であること、すなわち $c-b=0$ が必要である。これは十分でもあり、このとき $p_n=b$ がすべての $n$ で成り立つ。よって $a\leqq -1,b=c$ のときに限り収束し、その極限は $b$ である。

以上をまとめると、収束条件は $$-1<a<1\text{ なら }b,c\text{ は任意}$$ または $$a\leqq -1\text{ なら }b=c$$ である。

(1) は行列積の成分比較で $x,y$ を決める。
(2)は提示された式を数学的帰納法で確認する。
(3)は行列から2階漸化式を取り出し、定数列と $a^n$ の和として解く。

(1)

$AB=BC$ の成分を比較すると、$x,y$ はともに$${\lambda }^2-(a+1)\lambda +a=0$$の解である。この式は$$(\lambda -1)(\lambda -a)=0.$$$a<1,y<x$ より $x=1,y=a$ だから$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& a\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)

直接計算して$$B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{a-1}}\left(\begin{array}{cc}a& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$また$$A^n={\displaystyle \frac{1}{a-1}}\left(\begin{array}{cc}a-a^n& -1+a^n\\ a-a^{n+1}& -1+a^{n+1}\end{array}\right)\mathrm{.}$$$n=1$ では元の $A$ に一致する。この式へ左から $A$ を掛けて整理すると
$n$ を $n+1$ に替えた式になるので、帰納法により成立する。

(3)

行列の第2成分から$$p_{n+1}=(a+1)p_n-a{p}_{n-1}\mathrm{.}$$特性方程式は $$(\lambda -1)(\lambda -a)=0$$ なので$$p_n=U+V{a}^n\mathrm{.}$$$p_0=b,p_1=c$ から$$U={\displaystyle \frac{c-ab}{1-a}},V={\displaystyle \frac{c-b}{a-1}}\mathrm{.}$$$-1<a<1$ なら任意の $b,c$ で収束し$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{c-ab}{1-a}}\mathrm{.}$$$a\leqq -1$ なら $V=0$、すなわち $b=c$ の場合に限り収束し、
極限は $b$ である。