東北大学 2001年度 前期日程理系数学 第1問

(1)

2曲線の差を取ると $$x^3+b{x}^2-(a{x}^2+abx)=x^3+(b-a)x^2-abx=x(x-a)(x+b)$$ である。したがって交点の $x$ 座標は $-b,0,a$ である。 $-b<x<0$ では $x<0$、$x-a<0$、$x+b>0$ なので差は正である。$0<x<a$ では差は負である。よって2つの部分の面積の和 $S$ は $$S={\int }_{-b}^{0}x(x-a)(x+b)dx-{\int }_0^{a}x(x-a)(x+b)dx$$ である。

まず $$x(x-a)(x+b)=x^3+(b-a)x^2-abx$$ であるから、計算すると $${\int }_{-b}^{0}x(x-a)(x+b)dx={\displaystyle \frac{b^4}{12}}+{\displaystyle \frac{a{b}^3}{6}}$$ であり $$-{\int }_0^{a}x(x-a)(x+b)dx={\displaystyle \frac{a^4}{12}}+{\displaystyle \frac{a^{3}b}{6}}$$ である。したがって $$S={\displaystyle \frac{a^4+2a^{3}b+2a{b}^3+b^4}{12}}$$ である。

(2) $a+b=1$ なので $b=1-a$、$0<a<1$ とおく。(1)の式を用いると $$S={\displaystyle \frac{a^4+2a^3(1-a)+2a(1-a{)}^3+(1-a{)}^4}{12}}$$ である。これは $a$ と $b$ を入れ替えても同じ式なので、候補は対称点 $a=b=1\mathrm{/}2$ である。

微分で確認する。整理すると $$S=-{\displaystyle \frac{a^4}{6}}+{\displaystyle \frac{a^3}{3}}-{\displaystyle \frac{a}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}$$ であり $$S^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{(2a-1)(2a^2-2a-1)}{6}}$$ である。$0<a<1$ では $2a^2-2a-1<0$ であるから、$S^{\mathrm{\prime }}$ は $a<1\mathrm{/}2$ で負、$a>1\mathrm{/}2$ で正となる。よって $S$ は $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ で最小になる。このとき $b=1\mathrm{/}2$ であり $S={\displaystyle \frac{1}{32}}$ である。したがって $$a=b={\displaystyle \frac{1}{2}},S_{\min }={\displaystyle \frac{1}{32}}$$ である。

面積を積分した後、その対称式を
$s=a+b,p=ab$ で表す。条件 $s=1$ のもとでは
$p\leqq 1\mathrm{/}4$ を使い、微分せず最小値を決める。

(1)

2曲線の差は$$x^3+b{x}^2-(a{x}^2+abx)=x(x-a)(x+b)\mathrm{.}$$交点は $x=-b,0,a$ で、$(-b,0)$ では差が正、
$(0,a)$ では負である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-b}^{0}x(x-a)(x+b)dx-{\int }_0^{a}x(x-a)(x+b)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^4+2a^{3}b+2a{b}^3+b^4}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

$s=a+b,p=ab$ とすると、分子は$$s^4-2s^{2}p-2p^2\mathrm{.}$$$s=1$ なので$$S={\displaystyle \frac{1-2p-2p^2}{12}}\mathrm{.}$$正数 $a,b$ に対して$$0<p\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$であり、右辺は $p>0$ で単調に減少する。よって
$p=1\mathrm{/}4$、すなわち $a=b=1\mathrm{/}2$ のとき最小となる。
このとき$$S_{\min }={\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}}{12}}={\displaystyle \frac{1}{32}}\mathrm{.}$$