東北大学 2001年度 前期日程理系数学 第2問

(1)

分子を有理化すると、$x\mathrm{\ne }0$ で $$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1+2x}+1}}$$ である。したがって $$a=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)={\displaystyle \frac{2}{1+1}}=1$$ である。

また $$f(x)=2(\sqrt{1+2x}+1{)}^{-1}$$ より $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2(1+2x{)}^{-1\mathrm{/}2}(\sqrt{1+2x}+1{)}^{-2}$$ である。よって $$b=\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

(2)

(1) より比較する3つの関数は $\sqrt{1+2x},1+x,1+x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ である。ここで $$u=\sqrt{1+2x}$$ とおく。$x\geqq -1\mathrm{/}2$ より $u\geqq 0$ であり $$x={\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}$$ である。

まず $$1+x-\sqrt{1+2x}=1+{\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}-u={\displaystyle \frac{(u-1{)}^2}{2}}\geqq 0$$ である。したがって常に $\sqrt{1+2x}\leqq 1+x$ である。

次に $$1+x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-\sqrt{1+2x}=-{\displaystyle \frac{(u-1{)}^3(u+3)}{8}}$$ である。$u+3>0$ だから、この符号は $u-1$ の符号で決まる。$u\leqq 1$ は $-1\mathrm{/}2\leqq x\leqq 0$、$u\geqq 1$ は $x\geqq 0$ に対応する。

よって $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 0$ では $$\sqrt{1+2x}\leqq 1+x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq 1+x$$ であり、$x\geqq 0$ では $$1+x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq \sqrt{1+2x}\leqq 1+x$$ である。等号はいずれも $x=0$ で成り立つ。

グラフは、3曲線が点 $(0,1)$ で接し、直線 $1+x$ が常に最上位にある。放物線 $1+x-x^2\mathrm{/}2$ は $x<0$ で平方根曲線より上、$x>0$ で平方根曲線より下に入れ替わる。

有理化して極限を求める。大小関係は
$u=\sqrt{1+2x}$ を導入し、直線との差と2次近似との差を
$u-1$ の因数で表して符号を読む。

(1) $$f(x)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1+2x}+1}}$$だから$$a=1.$$また$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1+2x}\{\sqrt{1+2x}+1{\}}^2}}$$より$$b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)$$u=\sqrt{1+2x}\geqq 0$$ とおけば $x=(u^2-1)\mathrm{/}2$ である。
まず$$1+x-\sqrt{1+2x}={\displaystyle \frac{(u-1{)}^2}{2}}\geqq 0.$$また$$1+x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-\sqrt{1+2x}=-{\displaystyle \frac{(u-1{)}^3(u+3)}{8}}\mathrm{.}$$$u+3>0$ なので、$-1\mathrm{/}2\leqq x\leqq 0$ では$$\sqrt{1+2x}\leqq 1+x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq 1+x,$$$x\geqq 0$ では$$1+x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq \sqrt{1+2x}\leqq 1+x\mathrm{.}$$3曲線は $(0,1)$ で共通の接線 $y=1+x$ をもち、
$x=0$ の前後で平方根曲線と放物線の上下が入れ替わる。
この関係と定義域 $x\geqq -1\mathrm{/}2$ を反映して描けばよい。