東北大学 2001年度 前期日程理系数学 第6問

(1) $n=1$ のとき、$t\geqq 0$ で $$e^t=1+{\int }_0^t{e}^{x}dx\geqq {\int }_0^{t}1dx=t$$ である。したがって $$e^t\geqq {\displaystyle \frac{t}{1!}}$$ が成り立つ。

次に、ある正の整数 $n-1$ について $$e^x\geqq {\displaystyle \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}(x\geqq 0)$$ が成り立つと仮定する。このとき $t\geqq 0$ で$$\begin{array}{rl}{\displaystyle e^t}& {\displaystyle =1+{\int }_0^t{e}^{x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq {\int }_0^t{e}^{x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq {\int }_0^t{\displaystyle \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{t^n}{n!}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $$e^t\geqq {\displaystyle \frac{t^n}{n!}}(t\geqq 0)$$ が成り立つ。

(2)

まず $$I_0=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_0^t{e}^{-x}dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-e^{-t})=1$$ である。 $m\geqq 1$ とする。部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^t{x}^m{e}^{-x}dx}& {\displaystyle ={[-x^m{e}^{-x}]}_0^t+m{\int }_0^t{x}^{m-1}{e}^{-x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-t^m{e}^{-t}+m{\int }_0^t{x}^{m-1}{e}^{-x}dx\mathrm{.}}\end{array}$$ここで(1)を $n=m+1$ に対して用いると $$e^t\geqq {\displaystyle \frac{t^{m+1}}{(m+1)!}}$$ だから $$0\leqq t^m{e}^{-t}\leqq {\displaystyle \frac{(m+1)!}{t}}\to 0$$ である。したがって極限を取ると $I_m=m{I}_{m-1}$ を得る。 $I_0=1$ から順に $$I_m=m(m-1)\cdots 1I_0=m!$$ である。よって $$I_m=m!(m=0,1,2,\dots )$$ である。

(1) ではより強い有限和評価を積分帰納法で示す。
(2)は部分積分を繰り返した有限公式を帰納的に得て、
指数関数が多項式より速く増えることを(1)で保証する。

(1)

次のより強い不等式を示す。$$e^t\geqq \sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{t^k}{k!}}(t\geqq 0)\mathrm{.}$$$n=0$ では $e^t\geqq 1$ である。$n-1$ まで成立するとき$$e^t=1+{\int }_0^t{e}^{x}dx\geqq 1+{\int }_0^t\sum _{k=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}dx=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{t^k}{k!}}\mathrm{.}$$よって帰納法により成立し、特に$$e^t\geqq {\displaystyle \frac{t^n}{n!}}\mathrm{.}$$(2)

部分積分を繰り返すと$${\int }_0^t{x}^m{e}^{-x}dx=m!-e^{-t}\sum _{k=0}^m{\displaystyle \frac{m!}{k!}}{t}^k\mathrm{.}$$この式は $m=0$ で直接成り立ち、1回の部分積分で
$m-1$ から $m$ へ移るので帰納的に確認できる。

(1) を各 $k\leqq m$ に対して十分大きい指数で用いれば$$t^k{e}^{-t}⟶0.$$したがって $t\to \mathrm{\infty }$ として$$I_m=m!(m=0,1,2,\dots )\mathrm{.}$$