東北大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

放物線 $$f(x)=x^2+{\displaystyle \frac{2\cos \theta }{\sqrt{3}}}x-2\sin \theta$$ の軸は $$x=-{\displaystyle \frac{\cos \theta }{\sqrt{3}}}$$ である。$$-1\leqq -\cos \theta \mathrm{/}\sqrt{3}\leqq 1$$ なので、整数 $x$ での最小値は $x=-1,0,1$ の値を比べれば決まる。

それぞれ$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-1)}& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{2\cos \theta }{\sqrt{3}}}-2\sin \theta ,}\\ {\displaystyle f(0)}& {\displaystyle =-2\sin \theta ,}\\ {\displaystyle f(1)}& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{2\cos \theta }{\sqrt{3}}}-2\sin \theta }\end{array}$$である。比較すると $$f(-1)\leqq f(0)⟺\cos \theta \geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ であり、$$f(1)\leqq f(0)⟺\cos \theta \leqq -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。

(1) $\cos \theta \geqq \sqrt{3}\mathrm{/}2$ より $$0^{\circ }\leqq \theta \leqq {30}^{\circ }$$ である。この範囲では $m(\theta )=f(-1)$ であり、$$m(\theta )=1-{\displaystyle \frac{2\cos \theta }{\sqrt{3}}}-2\sin \theta$$ である。したがって $m(\theta )$ を最小にするには ${\displaystyle \frac{\cos \theta }{\sqrt{3}}}+\sin \theta$ を最大にすればよい。 $$0^{\circ }\leqq \theta \leqq {30}^{\circ }$$ では$${\displaystyle \frac{\cos \theta }{\sqrt{3}}}+\sin \theta ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\cos (\theta -{60}^{\circ })$$であり、$\theta -{60}^{\circ }$ は $[-{60}^{\circ },-{30}^{\circ }]$ を動く。この範囲では $\theta ={30}^{\circ }$ のとき最大である。よって $\theta ={30}^{\circ }$ である。

(2)
上の比較から$$\{\begin{array}{ll}{0}^{\circ }\leqq \theta \leqq {30}^{\circ }& \text{では }m(\theta )=f(-1),\\ {30}^{\circ }\leqq \theta \leqq {150}^{\circ }& \text{では }m(\theta )=f(0),\\ {150}^{\circ }\leqq \theta \leqq {180}^{\circ }& \text{では }m(\theta )=f(1)\end{array}$$である。

中央の範囲では $m(\theta )=-2\sin \theta$ であり、これは $\sin \theta$ が最大になる $\theta ={90}^{\circ }$ で最小値 $-2$ をとる。

一方、端の範囲では(1)と対称性から最小でも $-1$ であり、$-2$ より小さくならない。したがって全体で $$\theta ={90}^{\circ },m(\theta )=-2$$ である。

軸に最も近い整数

平方完成して放物線の軸 $c=-\cos \theta \mathrm{/}\sqrt{3}$ を求める。$c\in [-1\mathrm{/}\sqrt{3},1\mathrm{/}\sqrt{3}]$ なので、整数上の最小点は軸に最も近い $-1,0,1$ のいずれかである。最近整数が切り替わる $c=\pm 1\mathrm{/}2$ を境に処理する。

(1)
平方完成すると$$f(x)={(x+{\displaystyle \frac{\cos \theta }{\sqrt{3}}})}^2-{\displaystyle \frac{{\cos }^2\theta }{3}}-2\sin \theta \mathrm{.}$$軸は $c=-\cos \theta \mathrm{/}\sqrt{3}$ で、$$-1\mathrm{/}\sqrt{3}\leqq c\leqq 1\mathrm{/}\sqrt{3}$$ である。したがって最近整数は $-1,0,1$ だけを調べればよい。

$c=-1\mathrm{/}2$ は $\cos \theta =\sqrt{3}\mathrm{/}2$、すなわち $\theta ={30}^{\circ }$ に対応し、$c=1\mathrm{/}2$ は $\theta ={150}^{\circ }$ に対応する。よって$$m(\theta )=\{\begin{array}{ll}f(-1)& 0^{\circ }\leqq \theta \leqq {30}^{\circ },\\ f(0)& {30}^{\circ }\leqq \theta \leqq {150}^{\circ },\\ f(1)& {150}^{\circ }\leqq \theta \leqq {180}^{\circ }\mathrm{.}\end{array}$$$$0^{\circ }\leqq \theta \leqq {30}^{\circ }$$ の範囲では$$f(-1)=1-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\cos \theta -2\sin \theta$$が $\theta ={30}^{\circ }$ で最小となる。

(2)
全範囲では中央区間の$$f(0)=-2\sin \theta$$が $\theta ={90}^{\circ }$ で $-2$ をとり、これが全体の最小である。