方針
s=sinx とおけば −1≦s≦1 で、cos2x=1−2s2 により1変数の条件になる。絶対値を外して as+1−2s2=2 と as+1−2s2=−2 の2場合に分ける。どちらも s=0 は不可能なので a を s の関数として表し、0<s≦1, −1≦s<0 でそれぞれ値域を調べる。最後に2つの場合の和集合を取る。
解答
s=sinx とおくと、−1≦s≦1 であり、cos2x=1−2sin2x=1−2s2 である。したがって与えられた方程式は ∣as+1−2s2∣=2 となる。
まず as+1−2s2=2 の場合を考える。このとき as=1+2s2 であり、s=0 では成り立たない。よって a=s1+2s である。0<s≦1 では、1/s+2s は s=1/2 で最小値 22 をとり、s→0+ で限りなく大きくなるから a≧22 である。−1≦s<0 では u=−s とおくと a=−(u1+2u) であり、a≦−22 である。
次に as+1−2s2=−2 の場合を考える。このとき as=2s2−3 であり、やはり s=0 では成り立たない。したがって a=2s−s3 である。0<s≦1 では 2s−s3 は増加し、s→0+ で −∞、s=1 で −1 となる。よって a≦−1 である。−1≦s<0 では同じ式が増加し、s=−1 で 1、s→0− で +∞ となる。よって a≧1 である。
以上を合わせると、最初の場合の a≦−22 または a≧22 は、後の場合から得られる範囲に含まれている。したがって求める範囲は a≦−1またはa≧1 である。
条件・検算
絶対値の正負2場合を分け、−1≦sinx≦1 の端点を含めて値域を求めた。
総評
難度5、計算量4。目安時間は20〜25分。三角関数の方程式そのものを解こうとせず、s=sinx と置いて −1≦s≦1 の値域問題にするのが最短である。絶対値を外した2場合のうち、最終的な範囲を決めるのは as+1−2s2=−2 の方である。s=0 を除くこと、s>0 と s<0 で不等号の向きや値域が変わることに注意したい。端点 a=±1 は s=∓1 で実際に達成されるため、等号を含めてよい。
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出典: 東北大学 2004年度 後期 数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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