東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$t=\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta =2\cos (\theta -{60}^{\circ })$$ である。ここで $\varphi =\theta -{60}^{\circ }$ とおくと $t=2\cos \varphi$ である。また $3\theta =3\varphi +{180}^{\circ }$ だから $\cos 3\theta =-\cos 3\varphi$ である。

3倍角の公式より $$\cos 3\varphi =4{\cos }^3\varphi -3\cos \varphi$$ であり、$\cos \varphi =t\mathrm{/}2$ を代入して$$\cos 3\varphi =4{\left({\displaystyle \frac{t}{2}}\right)}^3-3\cdot {\displaystyle \frac{t}{2}}={\displaystyle \frac{t^3}{2}}-{\displaystyle \frac{3t}{2}}$$である。したがって $$\cos 3\theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}t$$ である。

(2)

同じく $\varphi =\theta -{60}^{\circ }$ とおく。まず $$-4\cos 3\theta =4\cos 3\varphi$$ である。また $$\cos 2\theta -\sqrt{3}\sin 2\theta =2\cos (2\theta +{60}^{\circ })$$ であり、$$2\theta +{60}^{\circ }=2\varphi +{180}^{\circ }$$ だから $$\cos 2\theta -\sqrt{3}\sin 2\theta =-2\cos 2\varphi$$ である。さらに $$2\cos \theta +2\sqrt{3}\sin \theta =2t$$ である。

したがって $$y=4\cos 3\varphi -2\cos 2\varphi +2t$$ である。$\cos \varphi =t\mathrm{/}2$ と、$$\cos 3\varphi ={\displaystyle \frac{t^3}{2}}-{\displaystyle \frac{3t}{2}},\cos 2\varphi =2{\left({\displaystyle \frac{t}{2}}\right)}^2-1={\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1$$を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y}& {\displaystyle =4({\displaystyle \frac{t^3}{2}}-{\displaystyle \frac{3t}{2}})-2({\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1)+2t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2t^3-t^2-4t+2.}\end{array}$$(3) $$0^{\circ }\leqq \theta \leqq {180}^{\circ }$$ のとき、$$-{60}^{\circ }\leqq \varphi \leqq {120}^{\circ }$$ である。この範囲で $t=2\cos \varphi$ は $-1\leqq t\leqq 2$ を動く。 $Y(t)=2t^3-t^2-4t+2$ とおくと $$Y^{\mathrm{\prime }}(t)=6t^2-2t-4=2(3t+2)(t-1)$$ である。したがって候補は端点 $t=-1,2$ と停留点 $t=-2\mathrm{/}3,1$ である。それぞれ $Y(-1)=3,Y(2)=6,$ $$Y(-{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{98}{27}},Y(1)=-1$$ である。

よって最大値は $6$ であり、これは $t=2$ のとき、すなわち $$2\cos (\theta -{60}^{\circ })=2$$ より $\theta ={60}^{\circ }$ で生じる。

最小値は $-1$ であり、これは $t=1$ のときである。すなわち $$2\cos (\theta -{60}^{\circ })=1$$ だから $$\theta -{60}^{\circ }=-{60}^{\circ },{60}^{\circ }$$ となり、$$\theta =0^{\circ },{120}^{\circ }$$ で生じる。

$t$ の範囲と三次関数

$z=\cos (\theta -{60}^{\circ })=t\mathrm{/}2$ と置き、3倍角・2倍角を Chebyshev 型の多項式として一度に処理する。得られた三次関数は導関数の符号表を作り、$t$ の実現範囲 $[-1,2]$ 上で端点と極値を比較する。

(1) $$z=\cos (\theta -{60}^{\circ })={\displaystyle \frac{t}{2}}$$と置く。$$3\theta =3(\theta -{60}^{\circ })+{180}^{\circ }$$ だから$$\cos 3\theta =-\cos \{3(\theta -{60}^{\circ })\}=-(4z^3-3z)=-{\displaystyle \frac{t^3}{2}}+{\displaystyle \frac{3t}{2}}\mathrm{.}$$(2)$$\cos 2\theta -\sqrt{3}\sin 2\theta =2\cos (2\theta +{60}^{\circ })=-2\cos \{2(\theta -{60}^{\circ })\}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y}& {\displaystyle =4(4z^3-3z)-2(2z^2-1)+4z}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2t^3-t^2-4t+2.}\end{array}$$(3)$$-{60}^{\circ }\leqq \theta -{60}^{\circ }\leqq {120}^{\circ }$$ より$$-1\leqq t\leqq 2.$$$Y(t)=2t^3-t^2-4t+2$ とおくと$$Y^{\mathrm{\prime }}(t)=2(3t+2)(t-1)\mathrm{.}$$候補値は$$\begin{array}{ccccc}t& -1& -{\displaystyle \frac{2}{3}}& 1& 2\\ Y(t)& 3& {\displaystyle \frac{98}{27}}& -1& 6\end{array}$$である。よって最大値は $6$、最小値は $-1$ である。

$t=2$ は $\theta ={60}^{\circ }$ に対応する。また $t=1$ は$$\cos (\theta -{60}^{\circ })={\displaystyle \frac{1}{2}}$$だから、指定範囲では $$\theta =0^{\circ },{120}^{\circ }$$ に対応する。