東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

目の高さ1.5mを除いた、目の位置から塔の頂上までの高さを $H$ m とする。また、地点Aから塔までの水平距離を $x$ m とし、$u=\tan \theta$ とおく。

条件より$${\displaystyle \frac{H}{x}}=u,{\displaystyle \frac{H}{x-160}}=\tan 2\theta ,{\displaystyle \frac{H}{x-260}}=\tan 4\theta$$である。したがって$$H({\displaystyle \frac{1}{u}}-{\displaystyle \frac{1}{\tan 2\theta }})=160,H({\displaystyle \frac{1}{u}}-{\displaystyle \frac{1}{\tan 4\theta }})=260$$である。よって$${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{u}}-{\displaystyle \frac{1}{\tan 4\theta }}}{{\displaystyle \frac{1}{u}}-{\displaystyle \frac{1}{\tan 2\theta }}}}={\displaystyle \frac{260}{160}}={\displaystyle \frac{13}{8}}$$である。

倍角公式 $$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2u}{1-u^2}}$$ を用いると$${\displaystyle \frac{1}{u}}-{\displaystyle \frac{1}{\tan 2\theta }}={\displaystyle \frac{1}{u}}-{\displaystyle \frac{1-u^2}{2u}}={\displaystyle \frac{1+u^2}{2u}}$$である。さらに $\tan 4\theta$ も同様に代入して整理すると $9u^2-1=0$ を得る。$u>0$ だから $\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

(1) $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+1\mathrm{/}9}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}}$$である。

(2) $u=1\mathrm{/}3$ より $$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2\mathrm{/}3}{1-1\mathrm{/}9}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。したがって $$H(3-{\displaystyle \frac{4}{3}})=160$$ となり、$H\cdot {\displaystyle \frac{5}{3}}=160$ から $H=96$ である。塔の高さは目の高さ1.5mを足して $$96+1.5={\displaystyle \frac{195}{2}}\text{ m}$$ である。

(3)
地点Aから塔までの距離は $$x={\displaystyle \frac{H}{u}}=288$$ である。また $$\tan 3\theta ={\displaystyle \frac{3u-u^3}{1-3u^2}}={\displaystyle \frac{1-1\mathrm{/}27}{1-1\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{13}{9}}$$ である。仰角が $3\theta$ となる地点から塔までの距離は $${\displaystyle \frac{H}{\tan 3\theta }}={\displaystyle \frac{96}{13\mathrm{/}9}}={\displaystyle \frac{864}{13}}$$ である。したがって、地点Aから近づく距離は $$288-{\displaystyle \frac{864}{13}}={\displaystyle \frac{2880}{13}}\text{ m}$$ である。

3地点から塔頂を見る

塔頂と目の高低差を $H$、各地点から塔までの距離を $H\cot \theta ,H\cot 2\theta ,H\cot 4\theta$ と書く。距離差160m,100mの比だけで $\tan \theta$ を決める。

(1)
$u=\tan \theta >0$ と置く。3地点の水平距離は$$H\cot \theta ,H\cot 2\theta ,H\cot 4\theta \mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{\cot \theta -\cot 4\theta }{\cot \theta -\cot 2\theta }}={\displaystyle \frac{260}{160}}={\displaystyle \frac{13}{8}}\mathrm{.}$$$$\cot 2\theta ={\displaystyle \frac{1-u^2}{2u}},\cot 4\theta ={\displaystyle \frac{1-6u^2+u^4}{4u(1-u^2)}}$$を代入して整理すると $9u^2=1$。よって $u=1\mathrm{/}3$ である。$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}}\mathrm{.}$$(2)
$\tan 2\theta =3\mathrm{/}4$ なので$$H(3-{\displaystyle \frac{4}{3}})=160,H=96.$$塔高は $96+1.5=195\mathrm{/}2$ m である。

(3)
$\tan 3\theta =13\mathrm{/}9$、地点Aから塔まで288mだから、近づく距離は$$288-{\displaystyle \frac{96}{13\mathrm{/}9}}={\displaystyle \frac{2880}{13}}\mathrm{m}\mathrm{.}$$