東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$$K=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$とおく。条件 $KAK=A^{-1}$ は、右からAを掛けて $KAKA=E$ と同値である。$$A=\left(\begin{array}{cc}a& a+1\\ b& c\end{array}\right)$$を代入して $KAKA=E$ の成分を比べると$$\{\begin{array}{l}ac+b^2=1,\\ c(a+b+1)=0,\\ a(a+b+1)=0,\\ a(a+c+2)=0\end{array}$$を得る。

まず $a+b+1\mathrm{\ne }0$ とする。このとき第2式、第3式から $a=0,c=0$ であり、第1式から $b^2=1$ である。さらに $a+b+1\mathrm{\ne }0$ より $b\mathrm{\ne }-1$ なので $b=1$ である。このとき$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=K$$となるが、$A^3=K\mathrm{\ne }E$ であり不適である。

次に $a+b+1=0$ とする。このとき $b=-a-1$ である。第1式は $ac+(a+1{)}^2=1$ すなわち $a(a+c+2)=0$ となる。 $a\mathrm{\ne }0$ なら $c=-a-2$ であり、$$A=\left(\begin{array}{cc}a& a+1\\ -a-1& -a-2\end{array}\right)$$である。この行列は跡が $-2$、行列式が1なので $A^2+2A+E=O$ を満たす。したがって $A^3=3A+2E$ である。もし $A^3=E$ なら $3A+2E=E$ より $A=-E\mathrm{/}3$ となるが、これは上の形のAの跡が $-2$ であることに反する。よってこの場合は不適である。

したがって $a=0$ である。このとき$$b=-1,A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& c\end{array}\right)$$である。$A^3=E$ を計算すると$$A^3=\left(\begin{array}{cc}-c& c^2-1\\ 1-c^2& c^3-2c\end{array}\right)$$である。これがEに等しいためには $-c=1$ が必要であり、よって $c=-1$ である。この値では確かに$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$$が $$A^3=E,KAK=A^{-1}$$ を満たす。

したがって求める行列は$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$$である。

3乗で単位行列へ戻る

$A^3=E$ の最小多項式から $A^2+A+E=O$、したがって $\mathrm{tr}A=-1,\det A=1$ を得る。共役条件を逆行列の成分と比較して一気に係数を決める。

与えられた形の $A$ は $E$ にはなれない。$x^3-1$ は重根をもたないため、$A^3=E$ と合わせると最小多項式は $x^2+x+1$ である。よって$$A^2+A+E=O,\mathrm{tr}A=-1,\det A=1.$$$$K=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$とすると$$KAK=\left(\begin{array}{cc}c& b\\ a+1& a\end{array}\right),A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}c& -(a+1)\\ -b& a\end{array}\right)$$である。したがって$$b=-(a+1)\mathrm{.}$$跡条件から $c=-a-1$。さらに$$1=\det A=ac-b(a+1)=a+1$$なので $a=0$、従って $b=c=-1$ である。$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$実際 $A^2+A+E=O$ より $A^3=E$ で、共役条件も満たす。