東北大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)

円柱 $C_1$ は $x$ 軸を中心軸とする半径1の円柱なので $y^2+z^2\leqq 1$ で表される。円柱 $C_2$ は $y$ 軸を中心軸とする半径1の円柱なので $x^2+z^2\leqq 1$ で表される。

平面 $z=u$ で切る。$-1\leqq u\leqq 1$ とし $$s=\sqrt{1-u^2}$$ とおくと，2つの円柱の条件は $$-s\leqq x\leqq s,-s\leqq y\leqq s$$ となる。さらに $K$ では $y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ が加わる。

したがって断面は，横の長さが $2s$ で，縦の範囲が $$-s\leqq y\leqq \min (s,{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である長方形になる。 $s\leqq 1\mathrm{/}2$，すなわち $$\sqrt{1-u^2}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のときは $$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ であり，$y\leqq 1\mathrm{/}2$ は断面を切らない。このとき断面積は $(2s)(2s)=4s^2=4(1-u^2)$ である。 $s\geqq 1\mathrm{/}2$，すなわち $$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ のときは，縦の長さが $${\displaystyle \frac{1}{2}}-(-s)=s+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。よって断面積は $$2s(s+{\displaystyle \frac{1}{2}})=2s^2+s=2(1-u^2)+\sqrt{1-u^2}$$ である。

以上より，求める断面積は$${\displaystyle \{\begin{array}{ll}2(1-u^2)+\sqrt{1-u^2}& (\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}),\\ 4(1-u^2)& ({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq \mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq 1)\end{array}}$$である。

(2)

断面積は $u$ の偶関数である。したがって体積 $V$ は$$V=2{\int }_0^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}\{2(1-u^2)+\sqrt{1-u^2}\}du+2{\int }_{\sqrt{3}\mathrm{/}2}^{1}4(1-u^2)du$$である。

まず多項式部分を計算すると$$2{\int }_0^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}2(1-u^2)du=4{[u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_0^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$$である。また$$2{\int }_{\sqrt{3}\mathrm{/}2}^{1}4(1-u^2)du=8{[u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_{\sqrt{3}\mathrm{/}2}^1={\displaystyle \frac{16}{3}}-3\sqrt{3}$$である。

残る円弧部分については，$$y=\sqrt{1-u^2}$$ が単位円の上半分を表すことを用いる。$0\leqq u\leqq \sqrt{3}\mathrm{/}2$ の下の面積は，中心角 $\pi \mathrm{/}3$ の扇形と直角三角形の面積から$${\int }_0^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}\sqrt{1-u^2}du={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}$$である。したがって$$2{\int }_0^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}\sqrt{1-u^2}du={\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$である。

以上を足すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}+({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})+({\displaystyle \frac{16}{3}}-3\sqrt{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle {\displaystyle \frac{16}{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4}}}}\end{array}$$である。

高さ $z=u$ の断面は長方形。平面 $y=1\mathrm{/}2$ が上辺を切るかだけを場合分けする。