東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$ を微分すると $${\displaystyle \frac{2x}{a^2}}+{\displaystyle \frac{2y}{b^2}}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=0$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{b^{2}x}{a^{2}y}}$$ である。点 $P(t)=(a\cos t,b\sin t)$ における接線の傾きは $$-{\displaystyle \frac{b^{2}a\cos t}{a^{2}b\sin t}}=-{\displaystyle \frac{b\cos t}{a\sin t}}$$ である。よって法線の傾きは ${\displaystyle \frac{a\sin t}{b\cos t}}$ である。

したがって法線 $l$ の方程式は $$y-b\sin t={\displaystyle \frac{a\sin t}{b\cos t}}(x-a\cos t)$$ である。

次に $l$ と $x$ 軸の交点を求める。$y=0$ を代入すると $$-b\sin t={\displaystyle \frac{a\sin t}{b\cos t}}(x-a\cos t)$$ である。$0<t\leqq \pi \mathrm{/}2$ で、$t=\pi \mathrm{/}2$ の場合も極限として同じ式になる。$0<t<\pi \mathrm{/}2$ で整理すると $$x-a\cos t=-{\displaystyle \frac{b^2}{a}}\cos t$$ なので $$x=(a-{\displaystyle \frac{b^2}{a}})\cos t={\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a}}\cos t$$ である。よって $$Q(t)=({\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a}}\cos t,0)$$ である。

(2)

線分 $Q(t)P(t)$ 上の点を $$X(t,\lambda )=Q(t)+\lambda (P(t)-Q(t))(0\leqq \lambda \leqq 1)$$ と表す。すると $$P(t)-Q(t)=({\displaystyle \frac{b^2}{a}}\cos t,b\sin t)$$ であるから、$$X(t,\lambda )=({\displaystyle \frac{a^2-b^2+\lambda b^2}{a}}\cos t,\lambda b\sin t)$$である。 $t$ を $dt$ だけ、$\lambda$ を $d\lambda$ だけ変化させると、底面上に小さな平行四辺形ができる。その2辺の方向ベクトルは $(-{\displaystyle \frac{a^2-b^2+\lambda b^2}{a}}\sin t,\lambda b\cos t)dt$ と $({\displaystyle \frac{b^2}{a}}\cos t,b\sin t)d\lambda$ である。したがってその面積は ${\displaystyle \frac{b}{a}}\{(a^2-b^2){\sin }^{2}t+b^2\lambda \}dtd\lambda$ である。

高さが $t$ である点の集まりは線分 $Q(t)P(t)$ である。よって平面 $z=s$ による断面は、高さが $s$ 以上の底面部分、すなわち $$s\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}},0\leqq \lambda \leqq 1$$ に対応する。したがって断面積 $A(s)$ は$$A(s)={\int }_s^{\pi \mathrm{/}2}{\int }_0^1{\displaystyle \frac{b}{a}}\{(a^2-b^2){\sin }^{2}t+b^2\lambda \}d\lambda dt$$である。

まず $\lambda$ で積分すると$$A(s)={\displaystyle \frac{b}{a}}{\int }_s^{\pi \mathrm{/}2}\{(a^2-b^2){\sin }^{2}t+{\displaystyle \frac{b^2}{2}}\}dt$$である。ここで$${\int }_s^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^{2}tdt={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-s)+{\displaystyle \frac{1}{4}}\sin 2s$$であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(s)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{b}{a}}[(a^2-b^2)\{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-s)+{\displaystyle \frac{1}{4}}\sin 2s\}+{\displaystyle \frac{b^2}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-s)]}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{b}{2a}}\{a^2({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-s)+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{2}}\sin 2s\}}\end{array}$$である。したがって$$A(s)={\displaystyle \frac{b}{2a}}\{a^2({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-s)+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{2}}\sin 2s\}$$である。

(3)

体積は断面積を高さ方向に積分して $${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}A(s)ds$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{b}{2a}}\{a^2({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-s)+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{2}}\sin 2s\}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{b}{2a}}\{a^2\cdot {\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}}+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{2}}\cdot 1\}}\end{array}$$である。よって $$V={\displaystyle \frac{ab{\pi }^2}{16}}+{\displaystyle \frac{b(a^2-b^2)}{4a}}$$ である。

条件・検算

断面積は $s=0$ で底面積、$s=\pi \mathrm{/}2$ で0になることを確認する。体積は底面上の高さを直接積分する方法でも照合する。

(1) (2)の座標表示を使い、断面積をもう一度積分せず、底面の各微小面積にその高さ $t$ を掛けて体積を直接計算する。

(1)

法線と $x$ 軸の交点は$$l:y-b\sin t={\displaystyle \frac{a\sin t}{b\cos t}}(x-a\cos t),$$$$Q(t)=({\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a}}\cos t,0)\mathrm{.}$$(2)

標準解法と同じ座標表示から断面積は$$A(s)={\displaystyle \frac{b}{2a}}\{a^2({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-s)+{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{2}}\sin 2s\}\mathrm{.}$$(3)

標準解法の座標$$X(t,\lambda )=({\displaystyle \frac{a^2-b^2+\lambda b^2}{a}}\cos t,\lambda b\sin t)$$を用いる。対応する微小面積は$$dA={\displaystyle \frac{b}{a}}\{(a^2-b^2){\sin }^{2}t+b^2\lambda \}dtd\lambda$$であり、その点の高さは $t$ である。したがって体積を直接$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\int }_0^{1}tdA}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{b}{a}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}t\{(a^2-b^2){\sin }^{2}t+{\displaystyle \frac{b^2}{2}}\}dt}\end{array}$$と表せる。ここで$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}t{\sin }^{2}tdt={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{4}},{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}tdt={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{b}{a}}\{(a^2-b^2)({\displaystyle \frac{{\pi }^2}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})+{\displaystyle \frac{b^2{\pi }^2}{16}}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{ab{\pi }^2}{16}}+{\displaystyle \frac{b(a^2-b^2)}{4a}}\mathrm{.}}\end{array}$$この計算は、問題文で高さ0とされた $x$ 軸上の線分が面積0であるため体積へ影響しないことも示している。

注意

標準解法の断面積を高さ方向に積分すると付加項が現れるように見える場合は、断面の対応範囲を再確認する必要がある。底面上の高さを直接積分する上式が体積の独立検算になる。