東北大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

得点が $k$ になるには、$k$ 回目で初めて「直前のカードと同じ数字か、直前のカードよりも小さい数字」が出ればよい。したがって、最初の $k-1$ 回の記録は狭義に増加し、$k$ 回目の記録は $k-1$ 回目の記録以下である。

最初の $k-1$ 回の最大値、すなわち $k-1$ 回目の記録を $j$ とする。狭義増加であるから $k-1\leqq j\leqq n$ である。最初の $k-2$ 個の数字は、$1,2,\dots ,j-1$ から $k-2$ 個を選べば、増加順にただ1通りに並ぶ。よって選び方は ${}_{j-1}{\mathrm{C}}_{k-2}$ 通りである。

さらに $k$ 回目には $j$ 以下の数字が出れば終了するので、その選び方は $j$ 通りである。したがって有利な記録列の数は $$\sum _{j=k-1}^{n}j{}_{j-1}{\mathrm{C}}_{k-2}$$ である。ここで $$j{}_{j-1}{\mathrm{C}}_{k-2}=(k-1){}_j{\mathrm{C}}_{k-1}$$ だから$$\sum _{j=k-1}^{n}j{}_{j-1}{\mathrm{C}}_{k-2}=(k-1)\sum _{j=k-1}^n{}_j{\mathrm{C}}_{k-1}=(k-1){}_{n+1}{\mathrm{C}}_k$$である。全事象は $k$ 回分の記録として $n^k$ 通りなので、求める確率は ${\displaystyle \frac{(k-1){}_{n+1}{\mathrm{C}}_k}{n^k}}$ である。

(2)

得点を $X$ とする。$X>j$ とは、少なくとも $j$ 回目までは終了しないということである。これは、最初の $j$ 回の記録が狭義に増加することと同値である。 $j$ 個の数字が狭義増加する記録列は、$1,2,\dots ,n$ から $j$ 個を選べば増加順にただ1通りに決まる。したがって $$P(X>j)={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_j}{n^j}}(0\leqq j\leqq n)$$ である。なお $j=0$ ではこの式は1を表し、$j>n$ では狭義増加は不可能である。

正の整数値をとる確率変数について $$E(X)=\sum _{j\geqq 0}P(X>j)$$ が成り立つので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(n)=E(X)}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^n{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_j}{n^j}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_j{\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}^j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n}\end{array}$$である。したがって $$f(n)={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$$ であり、よく知られた極限より $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(n)=e$$ である。

条件・検算

得点は最大でも $n+1$ である。分布式を $k=2,\dots ,n+1$ について足すと1になり、期待値の裾確率表示とも整合する。

得点を $X$ とし、$X>j$ が最初の $j$ 枚の狭義増加と同値であることを使う。(1)は $P(X=k)=P(X>k-1)-P(X>k)$、(2)は裾確率の総和で処理する。

最初の $j$ 回で終了しないための必要十分条件は、記録された数字が狭義に増加することである。したがって$$P(X>j)={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_j}{n^j}}(0\leqq j\leqq n)\mathrm{.}$$(1)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(X=k)}& {\displaystyle =P(X>k-1)-P(X>k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_{k-1}}{n^{k-1}}}-{\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{n^k}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(k-1){}_{n+1}{\mathrm{C}}_k}{n^k}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

正の整数値をとる確率変数の裾確率を足すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(n)=E(X)}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^{n}P(X>j)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_j{\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}^j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(n)=e\mathrm{.}$$