東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

赤玉が出る3つの位置を、取り出し順 $1,2,\dots ,2n$ の中から選ぶと考える。赤玉の位置の選び方は ${}_{2n}{\mathrm{C}}_3$ 通りであり、すべて同様に確からしい。 $A$ 君は奇数番目、$B$ 君は偶数番目に玉を取り出す。したがって $B$ 君が勝つのは、最初に現れる赤玉の位置が偶数番目のときである。

最初の赤玉が $2r$ 番目にあるとする。このとき、残り2個の赤玉は $2r+1,2r+2,\dots ,2n$ の中から選ばれるので、その選び方は ${}_{2n-2r}{\mathrm{C}}_2$ 通りである。よって有利な場合の数は $$\sum _{r=1}^n{}_{2n-2r}{\mathrm{C}}_2$$ である。ここで $s=n-r$ とおくと$$\sum _{r=1}^n{}_{2n-2r}{\mathrm{C}}_2=\sum _{s=0}^{n-1}{}_{2s}{\mathrm{C}}_2$$である。さらに $${}_{2s}{\mathrm{C}}_2={\displaystyle \frac{2s(2s-1)}{2}}=s(2s-1)$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{s=0}^{n-1}{}_{2s}{\mathrm{C}}_2}& {\displaystyle =\sum _{s=0}^{n-1}(2s^2-s)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cdot {\displaystyle \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}}-{\displaystyle \frac{(n-1)n}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n-1)(4n-5)}{6}}}\end{array}$$である。

全体の場合の数は $${}_{2n}{\mathrm{C}}_3={\displaystyle \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}}$$ である。したがって求める確率は$${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{n(n-1)(4n-5)}{6}}}{{\displaystyle \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}}}}={\displaystyle \frac{4n-5}{4(2n-1)}}$$である。よって ${\displaystyle \frac{4n-5}{4(2n-1)}}$ である。

条件・検算

$n=6$ を代入すると文系後期第3問の ${\displaystyle \frac{19}{44}}$ と一致する。これは一般式の独立した整合性確認になる。