東北大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

1回の試行では、白いサイコロの目と黒いサイコロの目の組が $6\cdot 6=36$ 通りある。3回振るので、全事象は ${36}^3$ 通りである。

皿が4枚の箱と2枚の箱がそれぞれ3個ずつになるには、3個の箱で皿が1枚ずつ増え、残り3個の箱で皿が1枚ずつ減る必要がある。したがって3回とも異なる目が出て移動が起こり、さらに移動先の箱3個と移動元の箱3個は重ならない。

まず皿が増える3個の箱を選ぶ方法は ${}_6{\mathrm{C}}_3$ 通りである。残りの3個の箱が皿の減る箱になる。3回の試行に対して、増える箱をどの順に移動先にするかは $3!$ 通り、減る箱をどの順に移動元にするかも $3!$ 通りである。よって有利な場合の数は $${}_6{\mathrm{C}}_{3}3!3!=20\cdot 6\cdot 6=720$$ である。したがって求める確率は $${\displaystyle \frac{720}{{36}^3}}={\displaystyle \frac{5}{324}}$$ である。

(2)

最終的に皿の枚数が $5,4,3,3,2,1$ になるということは、初めの3枚からの増減量が $+2,+1,0,0,-1,-2$ になるということである。増減量の合計が正の側で3、負の側で $-3$ なので、やはり3回とも移動が起こる。

まず、増減量が $+2$ になる箱、$+1$ になる箱、$-2$ になる箱、$-1$ になる箱を順に選ぶ。選び方は $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$ 通りである。残った2個の箱は増減量0の箱である。

ここで、役割が固定された場合を数える。$+2$ の箱を $A$、$+1$ の箱を $B$、$-1$ の箱を $E$、$-2$ の箱を $F$ とする。このとき可能な移動の型は次の2種類である。

1つ目は、$A$ が $E$ と $F$ から1枚ずつ受け取り、$B$ が $F$ から1枚受け取る場合である。つまり移動は $$E\to A,F\to A,F\to B$$ の3つであり、順序は $3!$ 通りである。

2つ目は、$A$ が $F$ から2回受け取り、$B$ が $E$ から1枚受け取る場合である。つまり移動は $$F\to A,F\to A,E\to B$$ であり、同じ移動 $F\to A$ が2回あるので順序は $${\displaystyle \frac{3!}{2!}}=3$$ 通りである。

したがって、役割が固定されたときの移動列は $$3!+{\displaystyle \frac{3!}{2!}}=6+3=9$$ 通りである。有利な場合の数は $360\cdot 9=3240$ 通りなので、求める確率は $${\displaystyle \frac{3240}{{36}^3}}={\displaystyle \frac{5}{72}}$$ である。

条件・検算

3回とも移動が起こらなければ正負の増減量の絶対値和が6にならない。(2)の2型は、$+2$ の箱が2個の異なる移動元から受けるか、同一の移動元から2回受けるかで尽くされる。