東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
直接計算すると$$AA=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E$$である。また$$BB={\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)}^2=E$$である。

さらに$$AB=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$であり、$$BA=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。

(2)
(1) より $A^2=B^2=E$ である。したがって、積の中に $AA$ または $BB$ が続けて現れたら、それを $E$ として消すことができる。よって、残る積は $A,B$ が交互に現れる形だけを考えればよい。

また $AB$ は120度の回転を表す行列であり、$(AB{)}^3=E$ である。したがって $AB$ を繰り返して得られるものは $E,AB,(AB{)}^2$ だけである。ここで $(AB{)}^2=BA$ である。

さらに先頭または末尾に $A$ を掛けたものを考えると、得られる行列は $E,A,B,AB,BA,ABA$ に限られる。実際、最後の1つは$$ABA=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$$である。したがって求める行列は $E,A,B,AB,BA,ABA$ の6個である。

条件・検算

関係 $A^2=B^2=E$、$(AB{)}^3=E$ から任意の語が6個の標準形に簡約されることを示した。

$A$ と $B$ を平面の直線に関する折り返しとして解釈する。2つの軸のなす角から $AB$ が120度回転であることを読み、正三角形の対称変換群として6個を列挙する。

(1)
直接計算すると$$A^2=B^2=E$$であり、$$AB=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
$A$ は $y$ 軸に関する折り返しである。$B$ も固有値 $1,-1$ をもつ折り返しで、その軸と $y$ 軸のなす角は
${60}^{\circ }$ である。したがって合成 $AB$ は ${120}^{\circ }$ 回転であり、$$(AB{)}^3=E\mathrm{.}$$回転は$$E,AB,(AB{)}^2=BA$$の3個である。これらに折り返し $A$ を合成すると、さらに$$A,B,ABA$$の3個を得る。回転と折り返しは行列式の符号が異なり、各3個も作用が異なるので重複しない。よって全部で$$E,A,B,AB,BA,ABA$$の6個である。