東北大 2003年度理系（後期）数学第6問｜問題・解答・解説

方針

まず2次正方行列 $X$ が $X^{2} = O$ を満たすときの一般形を成分比較で求める。零行列の場合も含めて $X = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & - a \end{array})$ 、 $a^{2} + b c = 0$ と書ける。これを $A, B$ に適用すると、 $A B + B A$ の非対角成分が消え、対角成分が等しくなるので(1)が従う。(2)は $(A + B)^{2} = O$ から出る1本の式と $B^{2} = O$ を合わせ、 $A \neq O$ のもとで $b \neq 0$ と $b = 0$ に分けて $B$ が $A$ の実数倍であることを示す。

解答

はじめに、2次正方行列 $X$ が $X^{2} = O$ を満たすときの形を調べる。 $X = (\begin{array}{cc} α & β \\ γ & δ \end{array})$ とおくと、 $X^{2} = O$ から $α^{2} + β γ = 0, β (α + δ) = 0, γ (α + δ) = 0, δ^{2} + β γ = 0$ を得る。 $β = γ = 0$ なら $α = δ = 0$ であり、零行列である。そうでなければ $β$ または $γ$ が0でないので $α + δ = 0$ である。いずれの場合も $X = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & - a \end{array}), a^{2} + b c = 0$ と書ける。

(1)
上の形を $A, B$ に適用して $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & - a \end{array}), a^{2} + b c = 0$ $B = (\begin{array}{cc} p & q \\ r & - p \end{array}), p^{2} + q r = 0$ とおく。 $A^{2} = B^{2} = O$ だから $(A + B)^{2} = A B + B A$ である。直接計算すると $A B + B A = (\begin{array}{cc} 2 a p + b r + c q & 0 \\ 0 & 2 a p + b r + c q \end{array}) = (2 a p + b r + c q) E$ である。したがって $s = 2 a p + b r + c q$ とおけば $(A + B)^{2} = s E$ である。

(2) $(A + B)^{2} = O$ とする。(1)の計算より $2 a p + b r + c q = 0$ である。

まず $b \neq 0$ の場合を考える。 $a^{2} + b c = 0$ より $c = - \frac{a^{2}}{b}$ である。また $2 a p + b r + c q = 0$ に $c = - a^{2} / b$ を代入し、両辺に $b$ を掛けると $2 a b p + b^{2} r - a^{2} q = 0$ である。さらに $B^{2} = O$ より $p^{2} + q r = 0$ だから $b^{2} (p^{2} + q r) = 0$ である。ここに $b^{2} r = a^{2} q - 2 a b p$ を代入すると $b^{2} p^{2} + q (a^{2} q - 2 a b p) = 0$ すなわち $(b p - a q)^{2} = 0$ を得る。よって $p = \frac{q}{b} a$ である。これを $2 a b p + b^{2} r - a^{2} q = 0$ に戻すと $r = - \frac{a^{2} q}{b^{2}} = \frac{q}{b} c$ である。したがって $B = \frac{q}{b} A$ となる。

次に $b = 0$ の場合を考える。 $a^{2} + b c = 0$ より $a = 0$ である。いま $A \neq O$ だから $c \neq 0$ である。条件 $2 a p + b r + c q = 0$ は $c q = 0$ となるので $q = 0$ である。さらに $B^{2} = O$ より $p^{2} + q r = p^{2} = 0$ だから $p = 0$ である。よって $B = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ r & 0 \end{array}) = \frac{r}{c} A$ である。

以上より、どの場合にも実数 $t$ が存在して $B = t A$ が成り立つ。

像は核へ入る

別解

解法2

方針

非零な冪零行列 $A$ に適合する基底を取り、 $A$ を $(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})$ にする。(1)は跡0の一般形から直接計算し、(2)はこの標準形で $B$ の成分を絞る。

解答

(1)
$X^{2} = O$ を満たす2次行列は $X = (\begin{array}{cc} x & y \\ z & - x \end{array}), x^{2} + y z = 0$ と書ける。したがって $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & - a \end{array}), B = (\begin{array}{cc} p & q \\ r & - p \end{array}) .$ $A^{2} = B^{2} = O$ より $(A + B)^{2} = A B + B A = (2 a p + b r + c q) E .$ よって指定の実数 $s$ が存在する。

(2)
$A \neq O$ かつ $A^{2} = O$ なので、あるベクトル $e_{2}$ に対し $e_{1} = A e_{2} \neq 0$ と取れる。すると $A e_{1} = O$ だから、基底 $(e_{1}, e_{2})$ では $A = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}) .$ $B = (\begin{array}{cc} p & q \\ r & - p \end{array}), p^{2} + q r = 0$ と書く。この基底で $(A + B)^{2} = A B + B A = r E .$ 仮定より $r = 0$ 。さらに $p^{2} + q r = 0$ から $p = 0$ である。したがって $B = (\begin{array}{cc} 0 & q \\ 0 & 0 \end{array}) = q A .$ 元の基底へ戻してもスカラー倍の関係は変わらないので、実数 $t = q$ により $B = t A$ が成り立つ。

総評

抽象的に見えるが、2次行列なので成分比較で最後まで押し切れる問題である。目安時間は35分前後。最初に $X^{2} = O$ の一般形をきちんと作ると、(1)は一行の積計算で済む。(2)は「スカラー倍らしい」とだけ書くと不十分で、 $b \neq 0$ と $b = 0$ の場合分けを通して係数が本当に一致することを示す必要がある。特に $A \neq O$ から $b = 0$ の場合に $c \neq 0$ が出る点を落とさないことが重要である。

出典: 東北大学 2003年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東北大学 2003年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第6問