東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$A^2=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)$$ とする。行列式を考えると $$\alpha \delta -\beta \gamma =\det (A^2)$$ である。2次行列については $$\det (A^2)=\det (A)\det (A)$$ であるから $$\alpha \delta -\beta \gamma =(ad-bc{)}^2\geqq 0$$ である。

(2) $C=A^2$ とおく。仮定 $A^4=E$ より $C^2=E$ である。また(1)より $\det C\geqq 0$ であり、$C^2=E$ から $(\det C{)}^2=\det E=1$ である。したがって $\det C=1$ である。$$C=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$$とおく。$C^2=E$ より$$\{\begin{array}{l}{p}^2+qr=1,\\ q(p+s)=0,\\ r(p+s)=0,\\ rq+s^2=1\end{array}$$である。また $ps-qr=1$ である。

もし $p+s=0$ なら $s=-p$ であり、$ps-qr=-p^2-qr$ である。一方 $p^2+qr=1$ なので $ps-qr=-1$ となり、$\det C=1$ に反する。したがって $p+s\mathrm{\ne }0$ である。すると $q(p+s)=0$, $r(p+s)=0$ から $q=0,r=0$ である。さらに $p^2=1$, $s^2=1$, $ps=1$ だから $$(p,s)=(1,1)\text{または}(p,s)=(-1,-1)$$ である。よって $$C=E\text{または}C=-E$$ である。すなわち $$A^2=E\text{または}{A}^2=-E$$ である。

(3) $$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$である。まず$$BA=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right),AB=\left(\begin{array}{cc}b& a\\ d& c\end{array}\right)$$である。条件 $BA=-AB$ より、成分を比較して $c=-b,d=-a$ を得る。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& -a\end{array}\right)$$である。

このとき$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2-b^2& 0\\ 0& a^2-b^2\end{array}\right)=(a^2-b^2)E$$である。条件 $A^2=-E$ より $a^2-b^2=-1$ だから $b^2=a^2+1$ である。よって $$b=\pm \sqrt{a^2+1},c=-b=\mp \sqrt{a^2+1},d=-a$$ である。

次に $AB=A^{m}B{A}^n$ を満たす $(m,n)$ を求める。$BA=-AB$ より、$B$ と $A$ を入れ替えるたびに符号が変わるので $B{A}^n=(-1{)}^n{A}^{n}B$ である。したがって $A^{m}B{A}^n=(-1{)}^n{A}^{m+n}B$ である。一方、$AB=A^{1}B$ であり、右から $B$ を掛けて比較すれば $(-1{)}^n{A}^{m+n}=A$ であればよい。

また $A^2=-E$ だから $A^4=E$ であり、$A$ の累乗は4周期である。 $n$ が偶数なら $(-1{)}^n=1$ なので $A^{m+n}=A$ すなわち $m+n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ が必要である。$1\leqq m,n\leqq 3$ で $n=2$ の場合を調べると $m+2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ より $m=3$ である。 $n$ が奇数なら $(-1{)}^n=-1$ なので $-A^{m+n}=A$ すなわち $A^{m+n}=-A=A^3$ であり、$m+n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ が必要である。$n=1$ では $m=2$、$n=3$ では該当する $1\leqq m\leqq 3$ はない。

したがって求める組は $(m,n)=(2,1),(3,2)$ である。

$A^2=-E$ の4周期

(1) ,(2)では $C=A^2$ の成分と行列式を直接使う。(3)の前半は反交換条件を成分比較し、後半は $A,A^2,A^3,A^4$ の表を作って9組を合同式ではなく明示的に確認する。

(1) $$\alpha \delta -\beta \gamma =\det (A^2)=(\det A{)}^2=(ad-bc{)}^2\geqq 0.$$(2)
$C=A^2$ とおくと $C^2=E$ である。(1)と$$(\det C{)}^2=\det E=1$$より $\det C=1$ である。$$C=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$$とすると、$C^2=E$ の非対角成分から$$q(p+s)=r(p+s)=0.$$$p+s=0$ なら、$p^2+qr=1$ に対して$$\det C=ps-qr=-p^2-qr=-1$$となり矛盾する。よって $p+s\mathrm{\ne }0$、したがって $q=r=0$ である。残りの条件から $p=s=1$ または $p=s=-1$ なので$$A^2=C=E\text{または}{A}^2=C=-E\mathrm{.}$$(3)
$BA=-AB$ の成分比較から$$c=-b,d=-a\mathrm{.}$$さらに$$A^2=(a^2-b^2)E=-E$$より$$b=\pm \sqrt{a^2+1},c=\mp \sqrt{a^2+1},d=-a\mathrm{.}$$$A^2=-E$ なので$$A^1=A,A^2=-E,A^3=-A,A^4=E$$が4周期で繰り返される。また$$A^{m}B{A}^n=(-1{)}^n{A}^{m+n}B\mathrm{.}$$$1\leqq m,n\leqq 3$ の9組をこの表で照合すると、右辺が $AB$ になるのは$$(m,n)=(2,1),(3,2)$$だけである。