東北大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$C=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$$とおく。また$$M_a=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ a& 0\end{array}\right),M_b=\left(\begin{array}{cc}0& b\\ b& 0\end{array}\right)$$と書く。直接計算すると$$C{M}_a=\left(\begin{array}{cc}ay& ax\\ aw& az\end{array}\right),M_{b}C=\left(\begin{array}{cc}bz& bw\\ bx& by\end{array}\right)$$である。したがって$$C{M}_a+M_{b}C=\left(\begin{array}{cc}ay+bz& ax+bw\\ aw+bx& az+by\end{array}\right)$$である。これが$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$に等しいので $$ay+bz=1,ax+bw=0,aw+bx=0,az+by=-1$$ である。

中央の2式は$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$である。$a^2\mathrm{\ne }{b}^2$ より、この係数行列の行列式 $a^2-b^2$ は0でない。したがって $x=w=0$ である。

残りの2式は$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$である。2式を加えると $(a+b)(y+z)=0$ であり、$a^2\mathrm{\ne }{b}^2$ だから $a+b\mathrm{\ne }0$ である。よって $y+z=0$ である。つまり $z=-y$ であり、$ay+bz=1$ に代入すると $(a-b)y=1$ となる。$a-b\mathrm{\ne }0$ なので $$y={\displaystyle \frac{1}{a-b}},z=-{\displaystyle \frac{1}{a-b}}$$ である。したがって$$C=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{a-b}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{a-b}}& 0\end{array}\right)$$である。

(2) $D_n=A_n-C$ とおく。(1)より $$C{M}_a+M_{b}C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$ なので、もとの漸化式から $D_{n+1}{M}_a+M_b{D}_n=O$ を得る。ここで$$M_a^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\mathrm{/}a\\ 1\mathrm{/}a& 0\end{array}\right)$$であるから $D_{n+1}=-M_b{D}_n{M}_a^{-1}$ である。$$S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$とおくと、$M_b=bS$、$M_a^{-1}=(1\mathrm{/}a)S$ である。したがって $$D_{n+1}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}S{D}_{n}S$$ である。同じ操作をもう一度行うと、$S^2=I$ より $$D_{n+2}={\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^2{D}_n$$ である。

初項は$$A_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\mathrm{/}a\\ 0& 0\end{array}\right)$$なので$$D_1=A_1-C=\left(\begin{array}{cc}0& -{\displaystyle \frac{b}{a(a-b)}}\\ {\displaystyle \frac{1}{a-b}}& 0\end{array}\right)$$である。また$$D_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}S{D}_{1}S=\left(\begin{array}{cc}0& -{\displaystyle \frac{b}{a(a-b)}}\\ {\displaystyle \frac{b^2}{a^2(a-b)}}& 0\end{array}\right)$$である。

よって $r=0,1,2,\dots$ に対して$$A_{2r+1}=C+{\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^{2r}\left(\begin{array}{cc}0& -{\displaystyle \frac{b}{a(a-b)}}\\ {\displaystyle \frac{1}{a-b}}& 0\end{array}\right)$$であり、$r=1,2,3,\dots$ に対して$$A_{2r}=C+{\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^{2r-2}\left(\begin{array}{cc}0& -{\displaystyle \frac{b}{a(a-b)}}\\ {\displaystyle \frac{b^2}{a^2(a-b)}}& 0\end{array}\right)$$である。

(3)

(2) の式を見ると、$A_n$ の成分が収束するかどうかは ${\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^{2r}$ および ${\left({\displaystyle \frac{b}{a}}\right)}^{2r-2}$ が収束するかどうかで決まる。$a^2\mathrm{\ne }{b}^2$ より $\mathrm{\mid }b\mathrm{/}a\mathrm{\mid }=1$ は起こらない。 $\mathrm{\mid }b\mathrm{/}a\mathrm{\mid }<1$ なら、これらの項は0に収束し、$A_n$ は奇数番目・偶数番目ともに $C$ へ近づく。したがってすべての成分が収束する。

一方、$\mathrm{\mid }b\mathrm{/}a\mathrm{\mid }>1$ なら、$D_1$ は零行列でないため、少なくとも一部の成分は大きさが無限に大きくなり、収束しない。よって必要十分条件は $$\mid {\displaystyle \frac{b}{a}}\mid <1$$ すなわち $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ である。

条件・検算

初項と漸化式へ一般項を戻して検算する。収束条件では $a^2\mathrm{\ne }{b}^2$ により境界 $\mathrm{\mid }b\mathrm{/}a\mathrm{\mid }=1$ が最初から除かれている。

各 $A_n$ が反対角成分だけをもつことを成分比較で示し、その2成分を $u_n,v_n$ とおく。和 $s_n=u_n+v_n$ と差 $d_n=u_n-v_n$ に分けると、2本の1次漸化式になる。

(1) $$C=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{1}{a-b}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{a-b}}& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)$$A_n=\left(\begin{array}{cc}0& u_n\\ v_n& 0\end{array}\right)$$とおく。初項はこの形であり、漸化式の成分比較から次項も同じ形になる。比較すると$$a{u}_{n+1}+b{v}_n=1,a{v}_{n+1}+b{u}_n=-1.$$そこで$$s_n=u_n+v_n,d_n=u_n-v_n,r={\displaystyle \frac{b}{a}}$$とおく。2式の和と差から$$s_{n+1}=-r{s}_n,d_{n+1}=r{d}_n+{\displaystyle \frac{2}{a}}\mathrm{.}$$初期値は $s_1=d_1=1\mathrm{/}a$ であるから$$s_n={\displaystyle \frac{1}{a}}(-r{)}^{n-1},$$$$d_n={\displaystyle \frac{1}{a}}{r}^{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{a}}{\displaystyle \frac{1-r^{n-1}}{1-r}}\mathrm{.}$$$a\mathrm{\ne }b$ なので分母は0でない。したがって$$u_n={\displaystyle \frac{s_n+d_n}{2}},v_n={\displaystyle \frac{s_n-d_n}{2}}$$により $A_n$ の一般項が得られる。この表示は標準解法の奇数・偶数表示と一致する。

(3)

$s_n,d_n$ がともに収束する必要十分条件は$$\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid }<1.$$よって求める条件は$$\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$$である。