東北大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),x=a+d$$とする。直接計算すると$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)$$であり，$$xA=(a+d)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+ad& ab+bd\\ ac+cd& ad+d^2\end{array}\right)$$である。したがって$$A^2-xA=\left(\begin{array}{cc}bc-ad& 0\\ 0& bc-ad\end{array}\right)=(bc-ad)E$$である。よって $${\displaystyle y=bc-ad}$$ である。

(2)

(1) より $A^2=xA+yE$ と書ける。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A^3}& {\displaystyle =A(xA+yE)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x{A}^2+yA}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x(xA+yE)+yA}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x^2+y)A+xyE}\end{array}$$である。

まず $A^3=E$ かつ $A\mathrm{\ne }E$ とする。このとき $(x^2+y)A+xyE=E$ である。もし $x^2+y\mathrm{\ne }0$ なら，この式から $A$ は $E$ の実数倍になる。すなわち $A=\lambda E$ と書ける。すると $A^3=E$ より ${\lambda }^{3}E=E$ なので，実数 $\lambda$ について ${\lambda }^3=1$ となり，$\lambda =1$ である。これは $A=E$ を意味し，仮定に反する。したがって $x^2+y=0$ でなければならない。

このとき上の式は $xyE=E$ となるので $xy=1$ である。$y=-x^2$ を代入して $-x^3=1$ より $x=-1,y=-1$ である。したがって $A^2=xA+yE=-A-E$ となり，$A^2+A+E=O$ を得る。

逆に $A^2+A+E=O$ とする。このとき $A=E$ なら左辺は $3E$ となり零行列でないので，$A\mathrm{\ne }E$ である。また $(A-E)(A^2+A+E)=A^3-E$ であり，左辺は零行列だから $A^3=E$ である。よって $${\displaystyle A^3=E\text{ かつ }A\mathrm{\ne }E⟺A^2+A+E=O}$$ である。

(3)

再び $A^2=xA+yE$ とおく。この関係を繰り返し用いると $A^6=PA+QE$ と書け，計算すると $P=x(x^2+y)(x^2+3y)$ であり，$Q=x^{4}y+3x^2{y}^2+y^3$ である。実際，$A^3=(x^2+y)A+xyE$ から順に $A^4,A^5,A^6$ を $A,E$ の一次結合へ直せばこの式を得る。

いま $A^6=E$ なので $PA+(Q-1)E=O$ である。もし $P\mathrm{\ne }0$ なら $A$ は $E$ の実数倍になる。$A=\lambda E$ と書くと，$A^6=E$ より ${\lambda }^6=1$ である。実数 $\lambda$ では $\lambda =1$ または $\lambda =-1$ だから，いずれも $A^2=E$ となり，仮定 $A^2\mathrm{\ne }E$ に反する。したがって $P=0,Q=1$ である。 $P=x(x^2+y)(x^2+3y)=0$ なので，次の3つを調べる。

まず $x=0$ のとき，$Q=y^3=1$ より $y=1$ である。すると $A^2=E$ となり，仮定に反する。

次に $x^2+y=0$ のとき，$y=-x^2$ である。このとき $Q=x^6$ となるので，$Q=1$ より $$x=1\text{または}x=-1$$ である。$x=-1$ なら $y=-1$ で $A^2=-A-E$ だから $A^2+A+E=O$ である。よって(2)より $A^3=E$ である。$x=1$ なら $y=-1$ で $A^2=A-E$ だから $A^2-A+E=O$ である。この両辺に $A+E$ を掛けると $(A+E)(A^2-A+E)=A^3+E=O$ となり，$A^3=-E$ である。

最後に $x^2+3y=0$ のとき，$y=-x^2\mathrm{/}3$ である。このとき $$Q=-{\displaystyle \frac{x^6}{27}}$$ となり，これは実数 $x$ について $1$ になれない。したがってこの場合は不可能である。

以上より $${\displaystyle A^3=E\text{または}{A}^3=-E}$$ が成り立つ。

2次行列の冪を常に $A,E$ の一次結合へ戻し、係数の因数分解で場合を尽くす。