東北大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$A+B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$である。直接計算すると$$(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$である。さらに$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$なので，2乗以降は変わらない。したがって $k\geqq 2$ で$${\displaystyle (A+B{)}^k=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)}$$である。

(2) $A$ は $A^2=A$ を満たすので，すべての自然数 $m$ について $A^m=A$ である。また$$B^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),B^3=O$$であるから$$B^n=\{\begin{array}{ll}B& (n=1),\\ B^2& (n=2),\\ O& (n\geqq 3)\end{array}$$である。

したがって $A^m{B}^n=A{B}^n$ であり，$$AB=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),A{B}^2=O$$より$${\displaystyle A^m{B}^n=\{\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)& (n=1),\\ O& (n\geqq 2)\end{array}}$$である。

同様に $B^n{A}^m=B^{n}A$ であり，$$BA=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),B^{2}A=O$$より$${\displaystyle B^n{A}^m=\{\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)& (n=1),\\ O& (n\geqq 2)\end{array}}$$である。

(3) $$N=A+B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$とおく。まず $NX=O$ を計算する。$N$ の第1行は $(0,1,0)$，第2行は $(0,1,1)$ なので$$NX=\left(\begin{array}{ccc}{y}_1& y_2& y_3\\ y_1+z_1& y_2+z_2& y_3+z_3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$である。これが零行列なので $$y_1=y_2=y_3=0,z_1=z_2=z_3=0$$ である。

次に $XN=O$ を用いる。上の結果から$$X=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$である。このとき$$XN=\left(\begin{array}{ccc}0& x_1+x_2& x_2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$であるから $x_2=0,x_1+x_2=0$ より $x_1=x_2=0$ である。$x_3$ には条件がないので，任意の実数 $t$ を用いて$${\displaystyle X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& t\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)(t\in \mathbb{R})}$$である。

冪の安定と左右からの零化条件を分けて調べると、残る成分は $(1,3)$ 成分だけになる。

行列を成分表ではなく、標準基底 $e_1,e_2,e_3$ をどこへ移す写像として読む。冪の安定、核と像、左右零化条件を同じ見方で処理する。

(1)

$N=A+B$ とおき、標準基底を $e_1,e_2,e_3$ とする。列ベクトルを読むと$$N{e}_1=0,N{e}_2=e_1+e_2,N{e}_3=e_2\mathrm{.}$$したがって$$N^2{e}_1=0,N^2{e}_2=e_1+e_2,N^2{e}_3=e_1+e_2\mathrm{.}$$さらに $N(e_1+e_2)=e_1+e_2$ なので、$k\geqq 2$ では$$N^k{e}_1=0,N^k{e}_2=N^k{e}_3=e_1+e_2\mathrm{.}$$これを列に並べれば$$N^k=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)(k\geqq 2)$$を得る。

(2)

$A$ は $e_2$ 成分だけを残す写像であり、$B$ は$$B{e}_1=0,B{e}_2=e_1,B{e}_3=e_2$$を満たす。よって $B^2{e}_3=e_1$、$B^3=O$ である。この作用を順に合成すれば$$A^{m}B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),B{A}^m=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$かつ $n\geqq 2$ では両方とも $O$ となる。

(3)

最後に $NX=O$ は $X$ の各列が $\ker N$ に入ることを意味する。$$\ker N=⟨e_1⟩$$なので、$X$ の像は $⟨e_1⟩$ に含まれる。一方 $XN=O$ より$$X(e_1+e_2)=0,X(e_2)=0$$であるから $X{e}_1=X{e}_2=0$ である。$X{e}_3=t{e}_1$ だけが自由に残るので$$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& t\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)(t\in \mathbb{R})$$となる。