東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ だから $$z=\cos \theta +i\sin \theta$$ とおくことができる。このとき $z^3-z$ の実部は $\cos 3\theta -\cos \theta$ である。和積公式より$$\cos 3\theta -\cos \theta =-2\sin 2\theta \sin \theta =-4{\sin }^2\theta \cos \theta$$である。したがって実部が $0$ となるのは $$\sin \theta =0\text{または}\cos \theta =0$$ のときである。よって $z=1,-1,i,-i$ である。

(2) $$\mathrm{\mid }{z}^5+z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{z}^4+1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}^4+1\mathrm{\mid }$$ である。$z=e^{i\theta }$ とすると $$z^4+1=e^{4i\theta }+1=2e^{2i\theta }\cos 2\theta$$ なので $\mathrm{\mid }{z}^5+z\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }\cos 2\theta \mathrm{\mid }$ である。これが $1$ となる条件は $\mathrm{\mid }\cos 2\theta \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって $$2\theta \equiv \pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}},\pm {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$ であり、求める $z$ は $$z=\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{6}}+i\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{6}}(k=1,2,4,5,7,8,10,11)$$ である。

(3) $\zeta =z^n$ とおくと、$\mathrm{\mid }\zeta \mathrm{\mid }=1$ である。条件は $\mathrm{\mid }\zeta +1\mathrm{\mid }=1$ である。単位円上の点 $\zeta$ で、点 $-1$ からの距離が $1$ であるものを考えると、$$\zeta =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\pm i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ である。すなわち ${\zeta }^2+\zeta +1=0$ である。したがって求める $z$ は $z^{2n}+z^n+1=0$ を満たす全ての複素数である。

この多項式は次数 $2n$、最高次係数 $1$、定数項 $1$ である。よって根をすべて掛け合わせた値は $(-1{)}^{2n}\cdot 1=1$ である。したがって求める複素数は $1$ である。

条件・検算

単位円上の候補を1周期内で重複なく列挙し、(3) の多項式が重根をもたないことも確認した。

(1) (2) は三角表示で候補を列挙する。(3) は条件を $z^{3n}=1,z^n\mathrm{\ne }1$ と読み替え、3n乗根全体の積をn乗根全体の積で割って求める。

(1)
$z=e^{i\theta }$ とおくと、実部は$$\cos 3\theta -\cos \theta =-4{\sin }^2\theta \cos \theta \mathrm{.}$$よって$$z=1,-1,i,-i\mathrm{.}$$(2)$$\mathrm{\mid }{z}^5+z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}^4+1\mathrm{\mid }=2\mathrm{\mid }\cos 2\theta \mathrm{\mid }$$だから、条件は $\mathrm{\mid }\cos 2\theta \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって$$z=\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{6}}+i\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{6}}(k=1,2,4,5,7,8,10,11)\mathrm{.}$$(3)
$\mathrm{\mid }{z}^n+1\mathrm{\mid }=1$、$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ より、単位円上の点 $z^n$ は$$z^n=e^{2\pi i\mathrm{/}3}\text{または}{e}^{4\pi i\mathrm{/}3}$$である。したがって$$z^{3n}=1,z^n\mathrm{\ne }1.$$1の $m$ 乗根全体の積は、多項式 $X^m-1$ の根の積から$$(-1{)}^{m+1}$$である。よって求める積は$${\displaystyle \frac{(-1{)}^{3n+1}}{(-1{)}^{n+1}}}=(-1{)}^{2n}=1$$である。