東北大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

1回のくじで当たる確率は ${\displaystyle \frac{1}{500}}$ であり，当たったときの景品相当額は10000円である。したがって1回あたりの景品相当額の期待値は $$10000\cdot {\displaystyle \frac{1}{500}}=20$$ 円である。10枚の抽選券で10回引くので，期待値は $$10\cdot 20={\displaystyle 200\text{円}}$$ である。

(2)

1回のくじについて，2人の結果が一致するのは，ともに当たる場合またはともに外れる場合である。したがって1回分の一致確率は$${\left({\displaystyle \frac{1}{500}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{499}{500}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1+{499}^2}{{500}^2}}={\displaystyle \frac{249002}{250000}}$$である。4回の結果の順序が完全に一致するには，4回すべてで一致すればよい。各回は独立だから，求める確率は $${\left({\displaystyle \frac{249002}{250000}}\right)}^4=0.984\cdots$$ である。小数点第3位を四捨五入して ${\displaystyle 0.98}$ である。

(3)

商店街全体で配布する抽選券の枚数を $N$ とする。抽選券1枚につき35円を拠出するので，拠出金の総額は $35N\text{円}$ である。

一方，管理運営費は300000円である。また，1枚の抽選券に対応する景品代の期待値は(1)で求めた1回あたりの期待値と同じく20円である。したがって経費の期待値は $300000+20N$ 円である。拠出金で期待経費をまかなうためには $35N\geqq 300000+20N$ が必要十分である。整理して $15N\geqq 300000,N\geqq 20000$ である。

抽選券1枚は1000円の買い物ごとに配布されるので，必要な売り上げ目標は $20000\cdot 1000=20000000$ 円以上である。よって ${\displaystyle 2000\text{万円以上}}$ である。

抽選券1枚あたりの差額15円が固定費を回収する、と読むと必要枚数が見える。