東北大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

全事象の数は ${}_7{\mathrm{C}}_3=35$ である。

最大値 $X$ が $k$ であるためには，残り2個を $1,2,\dots ,k-1$ から選べばよい。したがって $k=3,4,5,6,7$ について $$P(X=k)={\displaystyle \frac{{}_{k-1}{\mathrm{C}}_2}{35}}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{35}}\sum _{k=3}^{7}k\cdot {}_{k-1}{\mathrm{C}}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3\cdot 1+4\cdot 3+5\cdot 6+6\cdot 10+7\cdot 15}{35}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{210}{35}}=6}\end{array}$$である。

最小値 $Z$ が $k$ であるためには，残り2個を $k+1,k+2,\dots ,7$ から選べばよい。したがって $k=1,2,3,4,5$ について $$P(Z=k)={\displaystyle \frac{{}_{7-k}{\mathrm{C}}_2}{35}}$$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(Z)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{35}}\sum _{k=1}^{5}k\cdot {}_{7-k}{\mathrm{C}}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1\cdot 15+2\cdot 10+3\cdot 6+4\cdot 3+5\cdot 1}{35}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{70}{35}}=2}\end{array}$$である。

また，取り出された3個の番号の和の期待値は，1個あたりの平均が $${\displaystyle \frac{1+2+\cdots +7}{7}}=4$$ であることから $E(X+Y+Z)=3\cdot 4=12$ である。期待値の線形性より $$E(Y)=12-E(X)-E(Z)=12-6-2=4$$ となる。以上より $${\displaystyle E(X)=6,E(Y)=4,E(Z)=2}$$ である。

$1,\dots ,7$ の反転対称性から、期待値は中心4のまわりに $2,4,6$ と並ぶ。

選んだ3数を小さい順に並べ、選ばれなかった4数が両端と選択数の間に何個ずつ入るかを考える。4つの隙間は対称なので期待値が等しい。

選んだ3数を小さい順に $U<V<W$ とする。選ばれなかった番号の個数を$$G_0=U-1,G_1=V-U-1,G_2=W-V-1,G_3=7-W$$とおく。常に$$G_0+G_1+G_2+G_3=4$$である。

3個の選び方と、4つの非負整数 $G_0,G_1,G_2,G_3$ で和が4となる組は一対一に対応する。さらに4つの隙間を入れ替える写像で選び方全体が互いに対応するため、各 $G_i$ の分布は同じである。期待値の線形性から$$4E(G_0)=E(G_0+G_1+G_2+G_3)=4$$となり、$$E(G_0)=E(G_1)=E(G_2)=E(G_3)=1$$である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(U)}& {\displaystyle =1+E(G_0)=2,}\\ {\displaystyle E(V)}& {\displaystyle =2+E(G_0)+E(G_1)=4,}\\ {\displaystyle E(W)}& {\displaystyle =3+E(G_0)+E(G_1)+E(G_2)=6.}\end{array}$$$X=W,Y=V,Z=U$ なので$$E(X)=6,E(Y)=4,E(Z)=2$$を得る。