東北大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

現在の総得点が $S$ であるとする。次に1回サイコロを振った後の総得点は，出目が1から5ならそれぞれ $S+1,S+2,S+3,S+4,S+5$ であり，出目が6なら0である。したがって次の1回後の期待値は $${\displaystyle \frac{(S+1)+(S+2)+(S+3)+(S+4)+(S+5)+0}{6}}={\displaystyle \frac{5S+15}{6}}$$ である。

開始時は $S=0$ なので，1回後の期待値は $${\displaystyle \frac{15}{6}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。さらに2回後の期待値は，上の式の $S$ に1回後の期待値を入れて $${\displaystyle \frac{5\cdot {\displaystyle \frac{5}{2}}+15}{6}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{25}{2}}+15}{6}}={\displaystyle \frac{55}{12}}$$ である。よって ${\displaystyle {\displaystyle \frac{55}{12}}}$ である。

(2)

3回の出目は全部で $6^3=216$ 通りである。

まず，3回とも6が出ない場合を数える。このとき出目はすべて $1,2,3,4,5$ であり，最終得点は3つの出目の和である。全体は $5^3=125$ 通りである。和が6以下になる通り数は，和が3,4,5,6の場合を数えて $1+3+6+10=20$ 通りである。したがって和が7以上になるものは $125-20=105$ 通りである。

次に，6が出る場合を考える。2回目または3回目に6が出ると，その時点で総得点が0になり，その後残る加算は高々5なので，3回後の総得点は7以上にならない。したがって可能性があるのは1回目だけが6の場合である。このとき2回目と3回目の出目の和が7以上であればよい。$1$ から $5$ までの2数の並びは25通りで，和が6以下のものは $1+2+3+4+5=15$ 通りである。よって和が7以上のものは $25-15=10$ 通りである。

したがって有利な出目の並びは $105+10=115$ 通りであり，求める確率は ${\displaystyle {\displaystyle \frac{115}{216}}}$ である。

(3)

(1) で求めたように，現在の総得点が $S$ のとき，次に1回振った後の総得点の期待値は ${\displaystyle \frac{5S+15}{6}}$ である。これが $S$ 以下となる条件は $${\displaystyle \frac{5S+15}{6}}\leqq S$$ である。整理すると $5S+15\leqq 6S$ なので ${\displaystyle S\geqq 15}$ である。

1回の更新は $E_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=(5S+15)\mathrm{/}6$。期待値と確率の数え上げの双方の基礎になる。