東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

漸化式は $$a_{n+1}={\displaystyle \frac{3n-1}{3n+5}}{a}_n$$ である。初めの数項を見ると $$a_1=1,a_2={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ であり、分母が3ずつずれていく形になっている。一般項として $$a_n={\displaystyle \frac{10}{(3n-1)(3n+2)}}$$ を示す。

まず $n=1$ では $${\displaystyle \frac{10}{(3\cdot 1-1)(3\cdot 1+2)}}={\displaystyle \frac{10}{2\cdot 5}}=1$$ であり、$a_1=1$ と一致する。次に $$a_n={\displaystyle \frac{10}{(3n-1)(3n+2)}}$$ と仮定すると、漸化式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3n-1}{3n+5}}\cdot {\displaystyle \frac{10}{(3n-1)(3n+2)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{10}{(3n+2)(3n+5)}}}\end{array}$$である。これは ${\displaystyle \frac{10}{(3(n+1)-1)(3(n+1)+2)}}$ に等しい。したがって数学的帰納法により $$a_n={\displaystyle \frac{10}{(3n-1)(3n+2)}}$$ である。

次に級数の和を求める。部分分数分解すると$${\displaystyle \frac{10}{(3n-1)(3n+2)}}={\displaystyle \frac{10}{3}}({\displaystyle \frac{1}{3n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{3n+2}})$$である。したがって第 $N$ 部分和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^N{a}_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{10}{3}}\sum _{n=1}^N({\displaystyle \frac{1}{3n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{3n+2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{10}{3}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3N+2}})}\end{array}$$である。$N\to \mathrm{\infty }$ とすると $$S={\displaystyle \frac{10}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$$ である。よって $S={\displaystyle \frac{5}{3}}$ である。

条件・検算

一般項は初項と漸化式を満たす。部分和では中間項が完全に相殺し、残項 $1\mathrm{/}(3N+2)$ が0へ収束する。

漸化式を初項から積の形で展開し、分子と分母のずれを観察して一般項を得る。級数は部分分数分解で望遠和にする。

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\cdot 5\cdot 8\cdots (3n-4)}{8\cdot 11\cdot 14\cdots (3n+2)}}\mathrm{.}}\end{array}$$分子の $8,11,\dots ,3n-4$ と分母の同じ因子が消えるので$$a_n={\displaystyle \frac{2\cdot 5}{(3n-1)(3n+2)}}={\displaystyle \frac{10}{(3n-1)(3n+2)}}\mathrm{.}$$また$$a_n={\displaystyle \frac{10}{3}}({\displaystyle \frac{1}{3n-1}}-{\displaystyle \frac{1}{3n+2}})\mathrm{.}$$したがって$$\sum _{n=1}^N{a}_n={\displaystyle \frac{10}{3}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3N+2}}),$$ゆえに$$S={\displaystyle \frac{5}{3}}\mathrm{.}$$