東北大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $n=1$ の式は $S_1={\displaystyle \frac{1}{3}}(2p+a_1)$ であり，$S_1=a_1$ だから $a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}(2p+a_1)$ である。よって $$3a_1=2p+a_1,a_1=p$$ である。 $n=2$ の式は $$a_1+a_2={\displaystyle \frac{2}{3}}(2p+a_2)$$ である。$a_1=p$ を代入すると $$p+a_2={\displaystyle \frac{4}{3}}p+{\displaystyle \frac{2}{3}}{a}_2$$ となり，$a_2=p$ を得る。さらに $a_3=q$ であるから $b_1=a_3-a_2=q-p$ である。

次に $a_4,a_5$ を求める準備として，一般の関係式を作る。$n\geqq 2$ について $$S_n={\displaystyle \frac{n}{3}}(2p+a_n),S_{n-1}={\displaystyle \frac{n-1}{3}}(2p+a_{n-1})$$ であり，$S_n-S_{n-1}=a_n$ だから $$3a_n=n(2p+a_n)-(n-1)(2p+a_{n-1})$$ となる。整理して $$(n-3)a_n=(n-1)a_{n-1}-2p$$ である。 $n=4$ を代入すると $a_4=3a_3-2p=3q-2p$ なので $$b_2=a_4-a_3=2q-2p=2(q-p)$$ である。$n=5$ を代入すると $$2a_5=4a_4-2p=4(3q-2p)-2p=12q-10p$$ より $a_5=6q-5p$ である。したがって $$b_3=a_5-a_4=(6q-5p)-(3q-2p)=3(q-p)$$ である。よって $${\displaystyle b_1=q-p,b_2=2(q-p),b_3=3(q-p)}$$ である。

(2) $d=q-p$ とおく。(1)から $$a_1=p,a_2=p,a_3=p+d$$ である。ここで $$a_n=p+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}d$$ が成り立つことを示す。$n=1,2,3$ では確かに成り立つ。 $n\geqq 4$ とし，$n-1$ まで成り立つと仮定する。漸化式 $$(n-3)a_n=(n-1)a_{n-1}-2p$$ に代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (n-3)a_n}& {\displaystyle =(n-1)\{p+{\displaystyle \frac{(n-2)(n-3)}{2}}d\}-2p}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-3)p+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}d}\end{array}$$である。$n-3\mathrm{\ne }0$ なので $$a_n=p+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}d$$ となり，帰納的にすべての $n$ で成り立つ。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle =a_{n+2}-a_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{p+{\displaystyle \frac{(n+1)n}{2}}d\}-\{p+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}d\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =nd}\end{array}$$である。$d=q-p$ だから $${\displaystyle b_n=n(q-p)}$$ である。

(3)

(2) の帰納法で得た式をそのまま用いれば $${\displaystyle a_n=p+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}(q-p)}$$ である。

別の書き方をすれば，$a_2=p$ であり，$n\geqq 2$ では 次のように書ける。$$a_n=a_2+\sum _{j=1}^{n-2}{b}_j$$(2)より $b_j=j(q-p)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =p+(q-p)\sum _{j=1}^{n-2}j}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}(q-p)}\end{array}$$となり，同じ結果を得る。

第1階差が等差数列になるため、元の数列は $n$ の2次式になる。