東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

まず $0<a_n<2$ がすべての $n$ で成り立つことを示す。初項は条件より $0<c<2$ なので $0<a_1<2$ である。 $0<a_n<2$ と仮定する。このとき $$a_{n+1}^2=f(a_n)=4a_n-a_n^2=a_n(4-a_n)$$ である。$0<a_n<2$ より $a_n>0$, $4-a_n>2>0$ なので $a_{n+1}>0$ である。また $$a_{n+1}^2=a_n(4-a_n)<2\cdot 4=8$$ だけでは不十分なので、直接 $a_{n+1}^2<4$ を確認する。実際 $$4-a_{n+1}^2=4-(4a_n-a_n^2)=(2-a_n{)}^2>0$$ であるから $a_{n+1}<2$ である。よって帰納法により $0<a_n<2$ がすべての $n$ で成り立つ。

次に $a_n<a_{n+1}$ を示す。両辺は正なので、2乗して比較すればよい。 $a_{n+1}>a_n$ は $a_{n+1}^2>a_n^2$ と同値である。ところが $$a_{n+1}^2-a_n^2=4a_n-a_n^2-a_n^2=2a_n(2-a_n)>0$$ である。したがって $a_n<a_{n+1}$ である。

(2)

漸化式より $$a_{n+1}^2=4a_n-a_n^2=4-(2-a_n{)}^2$$ である。したがって $4-a_{n+1}^2=(2-a_n{)}^2$ であり、左辺を因数分解して $$(2-a_{n+1})(2+a_{n+1})=(2-a_n{)}^2$$ を得る。 $a_{n+1}>0$ なので $2+a_{n+1}>2$ である。よって $$2-a_{n+1}<{\displaystyle \frac{(2-a_n{)}^2}{2}}$$ である。

また(1)より $a_n\geqq a_1=c$ であるから $2-a_n\leqq 2-c$ である。したがって $$2-a_{n+1}<{\displaystyle \frac{2-c}{2}}(2-a_n)$$ が成り立つ。

(3)

(1) より $\{a_n\}$ は単調増加であり、さらに $a_n<2$ で上に有界である。したがって極限をもつ。その極限を $L$ とする。

漸化式の両辺で極限をとると $$L=\sqrt{4L-L^2}$$ である。両辺は非負なので2乗して $L^2=4L-L^2$ となる。よって $2L(L-2)=0$ であり、$$L=0\text{または}L=2$$ である。

しかし $a_1=c>0$ かつ単調増加なので $L\geqq c>0$ である。したがって $L=0$ は不可能で、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=2$$である。

【2へ近づく単調列】

誤差 $d_n=2-a_n$ を導入する。漸化式から $d_{n+1}(2+a_{n+1})=d_n^2$ が得られ、正値性・単調性・指定された縮小評価・極限が同じ恒等式からまとまって従う。

(1)
$0<a_n<2$ と仮定すると$$a_{n+1}^2=4-(2-a_n{)}^2$$より $0<a_{n+1}<2$ である。初項 $0<c<2$ と合わせて、帰納法により $0<a_n<2$ が保たれる。

また$$a_{n+1}^2-a_n^2=2a_n(2-a_n)>0.$$両辺は正だから$$a_n<a_{n+1}<2$$である。

(2)
$d_n=2-a_n$ と置くと $d_n>0$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle d_{n+1}(2+a_{n+1})}& {\displaystyle =4-a_{n+1}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2-a_n{)}^2=d_n^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$d_{n+1}={\displaystyle \frac{d_n^2}{2+a_{n+1}}}<{\displaystyle \frac{d_n^2}{2}}\mathrm{.}$$(1)より $a_n\geqq a_1=c$ なので $d_n\leqq 2-c$。ゆえに$$d_{n+1}<{\displaystyle \frac{2-c}{2}}{d}_n={\displaystyle \frac{2-c}{2}}(2-a_n)\mathrm{.}$$(3)$$0<{\displaystyle \frac{2-c}{2}}<1$$であり、(2)を反復すると$$0<d_n<{\left({\displaystyle \frac{2-c}{2}}\right)}^{n-1}{d}_1\mathrm{.}$$右辺は0へ収束するから $d_n\to 0$。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=2.$$