東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

等差数列 $x_0,x_1,\dots ,x_n$ は $$x_i=1+{\displaystyle \frac{i}{n}}(i=0,1,\dots ,n)$$ である。したがって$$P(n)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n(1+{\displaystyle \frac{i}{n}})$$である。これは $[0,1]$ 上の関数 $1+x$ のリーマン和なので、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(n)={\int }_0^1(1+x)dx={\displaystyle \frac{3}{2}}$$である。

次に$$\log Q(n)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n\log (1+{\displaystyle \frac{i}{n}})$$である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log Q(n)={\int }_0^1\log (1+x)dx$$である。部分積分により$${\int }_0^1\log (1+x)dx={[(1+x)\log (1+x)-(1+x)]}_0^1=2\log 2-1$$である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }Q(n)=e^{2\log 2-1}={\displaystyle \frac{4}{e}}$$である。

等比数列 $y_0,y_1,\dots ,y_n$ は $y_i=2^{i\mathrm{/}n}$ である。したがって$$R(n)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{2}^{i\mathrm{/}n}$$であり、これは $2^x$ のリーマン和である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }R(n)={\int }_0^1{2}^{x}dx={\left[{\displaystyle \frac{2^x}{\log 2}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{\log 2}}$$である。

最後に$$\log S(n)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n\log \left(2^{i\mathrm{/}n}\right)={\displaystyle \frac{\log 2}{n}}\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{i}{n}}$$である。したがって $$\log S(n)={\displaystyle \frac{\log 2}{n^2}}\cdot {\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\to {\displaystyle \frac{\log 2}{2}}$$ である。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }S(n)=\sqrt{2}$$である。

条件・検算

算術平均・幾何平均の4極限を、それぞれ有限和または区分求積として独立に確認した。