東北大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
2次方程式 $x^2+bx+1=0$ の解が $\alpha ,\beta$ であるから，解と係数の関係より $$\alpha +\beta =-b,\alpha \beta =1$$ である。 $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおく。方程式の解であることから $${\alpha }^2+b\alpha +1=0,{\beta }^2+b\beta +1=0$$ である。両辺にそれぞれ ${\alpha }^n$，${\beta }^n$ を掛けると $${\alpha }^{n+2}+b{\alpha }^{n+1}+{\alpha }^n=0,$$ $${\beta }^{n+2}+b{\beta }^{n+1}+{\beta }^n=0$$ である。これらを足して $s_{n+2}+b{s}_{n+1}+s_n=0$ すなわち $s_{n+2}=-b{s}_{n+1}-s_n$ を得る。

初期値は $$s_0={\alpha }^0+{\beta }^0=2,s_1=\alpha +\beta =-b$$ である。$b$ は整数なので $s_0,s_1$ は整数である。さらに漸化式 $s_{n+2}=-b{s}_{n+1}-s_n$ は整数係数であるから，帰納法によりすべての0以上の整数 $n$ について ${\alpha }^n+{\beta }^n\text{ は整数}$ である。

(2)
$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$ とする。$\alpha \beta =1$ であるから $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }=1$ である。したがって $$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }>1,\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }<1$$ である。

(1)
より $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ は整数である。また $$\mathrm{\mid }{s}_n-{\alpha }^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\beta }^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^n$$ であり，$\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }<1$ だから $\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^n\to 0$ である。特に十分大きい $n$ では $\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^n<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ となるので，整数 $s_n$ は ${\alpha }^n$ に最も近い整数である。

したがって，十分大きい $n$ では $$d_n=\mathrm{\mid }{s}_n-{\alpha }^n\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^n$$ である。よって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{d}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^n=0$$ である。