東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
漸化式 $$a_{n+1}={\displaystyle \frac{4a_n+1}{2a_n+3}}$$ の固定値を調べる。$x=(4x+1)\mathrm{/}(2x+3)$ とすると $x(2x+3)=4x+1$ であり，$2x^2-x-1=0$ となる。よって $(2x+1)(x-1)=0$ から，固定値は $x=1,x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

そこで $$b_n={\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+1\mathrm{/}2}}$$ とおく。これは問題の形 $$b_n={\displaystyle \frac{a_n+\beta }{a_n+\alpha }}$$ で $$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}},\beta =-1$$ を選んだものであり，$\alpha >\beta$ を満たす。

実際に比を計算する。まず$$a_{n+1}-1={\displaystyle \frac{4a_n+1}{2a_n+3}}-1={\displaystyle \frac{2a_n-2}{2a_n+3}}={\displaystyle \frac{2(a_n-1)}{2a_n+3}}$$である。また$$a_{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4a_n+1}{2a_n+3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{8a_n+2+2a_n+3}{2(2a_n+3)}}={\displaystyle \frac{5(2a_n+1)}{2(2a_n+3)}}={\displaystyle \frac{5(a_n+1\mathrm{/}2)}{2a_n+3}}$$である。したがって$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2}{5}}{\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2}{5}}{b}_n$$である。よって $\{b_n\}$ は公比 $2\mathrm{/}5$ の等比数列である。

(2) $a_1=2$ より $$b_1={\displaystyle \frac{2-1}{2+1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{1}{5\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$$ である。(1)より $$b_n=b_1{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}={\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+1\mathrm{/}2}}={\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n$$ である。 $$q={\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n$$ とおくと，$$a_n-1=q(a_n+{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である。これを $a_n$ について解くと $$a_n(1-q)=1+{\displaystyle \frac{q}{2}}$$ である。$0<q<1$ なので割ることができ，$$a_n={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n}{1-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n}}$$ である。

分数変換を2次行列 $\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$ の反復として表す。固有値5と2に対応する2方向へ初期ベクトルを分解し、行列のべきから $a_n$ を直接求める。

(1) $$M=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$とおく。分数変換 $x\mapsto (4x+1)\mathrm{/}(2x+3)$ の固定値は $1,-1\mathrm{/}2$ であるから、$$b_n={\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+1\mathrm{/}2}}$$とおくとよい。したがって$$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}},\beta =-1.$$実際、代入により $b_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{5}}{b}_n$ となる。

(2)
$a_n=x_n\mathrm{/}{y}_n$ とおけば$$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$$M$ の固有値は $5,2$、対応する固有ベクトルはそれぞれ $(1,1{)}^{\mathsf{T}}$、$(1,-2{)}^{\mathsf{T}}$ である。また$$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{5}{3}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)={\displaystyle \frac{5}{3}}{5}^{n-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{1}{3}}{2}^{n-1}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$$a_n={\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}={\displaystyle \frac{5^n+2^{n-1}}{5^n-2^n}}={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}(2\mathrm{/}5{)}^n}{1-(2\mathrm{/}5{)}^n}}\mathrm{.}$$