東北大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $F(x)$ を $G(x)$ で割った商を $Q(x)$ とすると，余りが $R(x)$ であるから $F(x)=Q(x)G(x)+R(x)$ と書ける。 $\alpha$ が方程式 $F(x)=0$ と $G(x)=0$ の共通解であるとする。このとき $$F(\alpha )=0,G(\alpha )=0$$ である。上の等式に $x=\alpha$ を代入すると $$0=F(\alpha )=Q(\alpha )G(\alpha )+R(\alpha )=R(\alpha )$$ となる。したがって $\alpha$ は $R(x)=0$ の解である。

(2)

実際に $G(x)$ を $R(x)$ で割ると，商は $x-a-1$ であり，余り $S(x)$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(x)}& {\displaystyle =(a^2+4a+5)x^2-(a^3+6a^2+13a+10)x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2a^3+8a^2+10a}\end{array}$$である。これは $$S(x)=(x-a)(x-2)(a^2+4a+5)$$ と因数分解できる。

ここで $a^2+4a+5=(a+2{)}^2+1>0$ である。したがって $G(x)=0$ と $R(x)=0$ の共通実数解は，$S(x)=0$ も満たすので，候補は $x=a,x=2$ に限られる。

実際に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R(a)}& {\displaystyle =a^3+a^2-(a^2+3a+6)a+2a(a+3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0}\end{array}$$であり，また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R(2)}& {\displaystyle =8+4-2(a^2+3a+6)+2a(a+3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0}\end{array}$$である。よって $x=a$ と $x=2$ はともに $R(x)=0$ を満たす。また $S(x)=0$ であるから，除法の等式 $G(x)=(x-a-1)R(x)+S(x)$ より $G(x)=0$ も満たす。

(1) と，$F=QG+R$ の関係から，$F(x)=0$ と $G(x)=0$ の共通の実数解は $G(x)=0$ と $R(x)=0$ の共通実数解に一致する。したがって $${\displaystyle x=a,x=2}$$ である。ただし $a=2$ の場合は，これは同じ解 $x=2$ を表す。

多項式の互除法と同じ流れで、共通零点の候補を次数の低い余りへ落とす。