東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

条件(i)を用いる。いま $$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$$ であるから $$x^{4}f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=a+bx+c{x}^2+d{x}^3+e{x}^4$$ である。これが $f(x)$ に等しいので，係数比較により $e=a,d=b$ である。したがって $$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a$$ と書ける。

次に条件(ii)を使う。展開公式 $(1-x{)}^2=x^2-2x+1,$ $(1-x{)}^3=-x^3+3x^2-3x+1,$ $$(1-x{)}^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$$ を用いる。$f(1-x)$ の $x^3$ の係数は $-4a-b$ であり，これが $f(x)$ の $x^3$ の係数 $b$ に等しい。したがって $-4a-b=b$ より $b=-2a$ である。

さらに $x$ の係数を比較する。$f(1-x)$ の $x$ の係数は $-4a-3b-2c-b=-4a-4b-2c$ であり，これが $f(x)$ の $x$ の係数 $b$ に等しい。よって $-4a-4b-2c=b$ である。$b=-2a$ を代入して $-4a+8a-2c=-2a$ となるから $c=3a$ である。

したがって $$f(x)=a(x^4-2x^3+3x^2-2x+1)$$ である。条件(iii)より $f(1)=a(1-2+3-2+1)=a$ であり，$f(1)=1$ だから $a=1$ である。よって $$a=1,b=-2,c=3,d=-2,e=1$$ である。

条件(ii)を先に使い、$q=x(1-x)$ とおく。$x$ と $1-x$ の交換で不変な4次以下の多項式は $A{q}^2+Bq+C$ と書ける。この形を条件(i)へ代入すると、係数比較が3文字だけで済み、最後に条件(iii)で倍率を決められる。

条件(ii)の利用
$q=x(1-x)$ とおくと、$x$ を $1-x$ に替えても $q$ は変わらない。したがって、条件(ii)を満たす4次以下の多項式は$$f(x)=A{q}^2+Bq+C$$と表せる。実際、$u=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ とおけば条件(ii)は $f(1\mathrm{/}2+u)=f(1\mathrm{/}2-u)$ であり、$f$ は $u$ の偶数次だけからなる。$u^2={\displaystyle \frac{1}{4}}-q$ なので上の形になる。

条件(i)の利用
$q=x(1-x)$ を用いて両辺を展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^{4}f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-f(x)=}& {\displaystyle (-A+C)x^4+(2A+B)x^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(-2A-B)x+(A-C)\mathrm{.}}\end{array}$$これが恒等的に $0$ だから$$C=A,B=-2A$$である。よって$$f(x)=A(q^2-2q+1)=A(q-1{)}^2=A(x^2-x+1{)}^2\mathrm{.}$$条件(iii)の利用
$f(1)=A=1$ である。したがって$$f(x)=(x^2-x+1{)}^2=x^4-2x^3+3x^2-2x+1$$を得る。