東北大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)

領域 $D$ は $$1\leqq x\leqq 2,y\leqq 0$$ であり，領域 $E$ は $y\geqq x^2-3ax+2a^2$ である。したがって共通点をもつためには，ある $x$ が $1\leqq x\leqq 2$ を満たし，かつ $x^2-3ax+2a^2\leqq 0$ となることが必要十分である。

左辺は $$x^2-3ax+2a^2=(x-a)(x-2a)$$ である。これが0以下になる $x$ が存在するには，まず $a>0$ であり，区間 $[a,2a]$ が $[1,2]$ と交わればよい。交わりの条件は $2a\geqq 1,a\leqq 2$ であるから $${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq 2}$$ である。

(2)

共通部分では $$0\geqq y\geqq (x-a)(x-2a)$$ である。
よって面積は次の定積分で求められる。$$\int \{0-(x-a)(x-2a)\}dx$$${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq 1$ のとき，$[a,2a]$ と $[1,2]$ の共通部分は $[1,2a]$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_1^{2a}\{-(x-a)(x-2a)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_1^{2a}(-x^2+3ax-2a^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3a}{2}}{x}^2-2a^{2}x]}_1^{2a}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{(a-2)(2a-1{)}^2}{6}}}\end{array}$$である。 $1\leqq a\leqq 2$ のとき，$[a,2a]$ と $[1,2]$ の共通部分は $[a,2]$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_a^2\{-(x-a)(x-2a)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3a}{2}}{x}^2-2a^{2}x]}_a^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(a-2{)}^2(5a-4)}{6}}}\end{array}$$である。

よって$${\displaystyle S(a)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{(a-2)(2a-1{)}^2}{6}}& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq 1),\\ {\displaystyle \frac{(a-2{)}^2(5a-4)}{6}}& (1\leqq a\leqq 2)\end{array}}$$である。

(3)

まず ${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq 1$ で $$S(a)=-{\displaystyle \frac{(a-2)(2a-1{)}^2}{6}}$$ を微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{(2a-1)(3-2a)}{2}}$$ である。この区間では $S^{\mathrm{\prime }}(a)\geqq 0$ なので，最大は $a=1$ で $S(1)={\displaystyle \frac{1}{6}}$ である。

次に $1\leqq a\leqq 2$ で $$S(a)={\displaystyle \frac{(a-2{)}^2(5a-4)}{6}}$$ を微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{(a-2)(5a-6)}{2}}$$ である。したがって $1<a<2$ の内部の極値は $a={\displaystyle \frac{6}{5}}$ であり，$1\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{6}{5}}$ で増加，${\displaystyle \frac{6}{5}}\leqq a\leqq 2$ で減少する。よってこの区間の最大値は$$S\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right)={\displaystyle \frac{{(-{\displaystyle \frac{4}{5}})}^2\cdot 2}{6}}={\displaystyle \frac{16}{75}}$$である。 $${\displaystyle \frac{16}{75}}>{\displaystyle \frac{1}{6}}$$ だから，全体での最大値は ${\displaystyle {\displaystyle \frac{16}{75}}}$ である。

放物線が $x$ 軸以下になる区間と帯 $1\leqq x\leqq 2$ の重なりが積分区間である。