東北大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)

直接積分すると$$I_0(a)={\int }_0^a\sqrt{1+x}dx={[{\displaystyle \frac{2}{3}}(1+x{)}^{3\mathrm{/}2}]}_0^a={\displaystyle \frac{2}{3}}\{(1+a{)}^{3\mathrm{/}2}-1\}$$である。したがって$$a^{-3\mathrm{/}2}{I}_0(a)={\displaystyle \frac{2}{3}}\{{(1+{\displaystyle \frac{1}{a}})}^{3\mathrm{/}2}-a^{-3\mathrm{/}2}\}$$より $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-3\mathrm{/}2}{I}_0(a)={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。

(2) $n\geqq 1$ とする。部分積分で$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_n(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^a{x}^n\sqrt{1+x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^n(1+x{)}^{3\mathrm{/}2}]}_0^a-{\displaystyle \frac{2n}{3}}{\int }_0^a{x}^{n-1}(1+x{)}^{3\mathrm{/}2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^n(1+a{)}^{3\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{2n}{3}}{\int }_0^a{x}^{n-1}(1+x{)}^{3\mathrm{/}2}dx}\end{array}$$である。ここで $$(1+x{)}^{3\mathrm{/}2}=x\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x}$$ だから $${\int }_0^a{x}^{n-1}(1+x{)}^{3\mathrm{/}2}dx=I_n(a)+I_{n-1}(a)$$ である。これを代入して整理すると $$I_n(a)={\displaystyle \frac{2}{3+2n}}{a}^n(1+a{)}^{3\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{2n}{3+2n}}{I}_{n-1}(a)$$ を得る。

(3) $$L_n=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-(n+3\mathrm{/}2)}{I}_n(a)$$ とおく。(1)より $L_0=2\mathrm{/}3$ である。(2)の漸化式を $a^{n+3\mathrm{/}2}$ で割ると$$a^{-(n+3\mathrm{/}2)}{I}_n(a)={\displaystyle \frac{2}{2n+3}}{(1+{\displaystyle \frac{1}{a}})}^{3\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{2n}{2n+3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{a}}{a}^{-(n-1+3\mathrm{/}2)}{I}_{n-1}(a)$$である。帰納法で $L_{n-1}$ が有限であるとすれば、第2項は $a\to \mathrm{\infty }$ で 0 に近づく。したがって $$L_n={\displaystyle \frac{2}{2n+3}}$$ である。よって自然数 n に対して $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-(n+3\mathrm{/}2)}{I}_n(a)={\displaystyle \frac{2}{2n+3}}$$ である。

$x=au$ で区間を $[0,1]$ に固定すると、極限の被積分関数が見える。

(1) (2)は直接積分と部分積分で示す。(3)では $x=au$ とおいて区間を $[0,1]$ に固定し、被積分関数を $u^{n+1\mathrm{/}2}$ へ収束させる。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_0(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^a\sqrt{1+x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}\{(1+a{)}^{3\mathrm{/}2}-1\}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-3\mathrm{/}2}{I}_0(a)={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$(2) 部分積分すると$$I_n(a)={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^n(1+a{)}^{3\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{2n}{3}}{\int }_0^a{x}^{n-1}(1+x{)}^{3\mathrm{/}2}dx\mathrm{.}$$ここで$$x^{n-1}(1+x{)}^{3\mathrm{/}2}=x^n\sqrt{1+x}+x^{n-1}\sqrt{1+x}$$だから、右端の積分は $I_n(a)+I_{n-1}(a)$ である。整理して$$I_n(a)={\displaystyle \frac{2}{2n+3}}{a}^n(1+a{)}^{3\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{2n}{2n+3}}{I}_{n-1}(a)\mathrm{.}$$(3) $x=au$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^{-(n+3\mathrm{/}2)}{I}_n(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^1{u}^n\sqrt{u+{\displaystyle \frac{1}{a}}}du\mathrm{.}}\end{array}$$$a\to \mathrm{\infty }$ のとき被積分関数は $u^{n+1\mathrm{/}2}$ に近づく。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-(n+3\mathrm{/}2)}{I}_n(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^1{u}^{n+1\mathrm{/}2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{2n+3}}\mathrm{.}}\end{array}$$