東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $P$ は第1象限の単位円上にあるので $$P=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$ である。これを $y=x^2+2kx$ に代入すると $$\sin \alpha ={\cos }^2\alpha +2k\cos \alpha$$ である。$\cos \alpha >0$ だから $$k={\displaystyle \frac{\sin \alpha -{\cos }^2\alpha }{2\cos \alpha }}$$ である。

(2) $Q$ は第3象限にあり，$\beta =\mathrm{\angle }BOQ$ であるから $$Q=(-\cos \beta ,-\sin \beta )$$ である。求める図形は放物線の上側にあり，単位円の上側の弧を上端にもつので，面積は $$S(k)={\int }_{-\cos \beta }^{\cos \alpha }\{\sqrt{1-x^2}-(x^2+2kx)\}dx$$ である。

まず円の部分を求める。単位円で，$x=-\cos \beta$ から $x=\cos \alpha$ までの上半分の面積は，扇形と直角三角形の面積を用いて ${\displaystyle \frac{1}{2}}\{\pi -\alpha -\beta +\sin \alpha \cos \alpha +\sin \beta \cos \beta \}$ である。一方，放物線の部分は$${\int }_{-\cos \beta }^{\cos \alpha }(x^2+2kx)dx={\displaystyle \frac{{\cos }^3\alpha +{\cos }^3\beta }{3}}+k({\cos }^2\alpha -{\cos }^2\beta )$$である。したがって$$S(k)={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\pi -\alpha -\beta +\sin \alpha \cos \alpha +\sin \beta \cos \beta \}-{\displaystyle \frac{{\cos }^3\alpha +{\cos }^3\beta }{3}}-k({\cos }^2\alpha -{\cos }^2\beta )$$である。

(3)
(1)より $$2k\cos \alpha =\sin \alpha -{\cos }^2\alpha$$ である。右辺は1以下なので $$0<\cos \alpha \leqq {\displaystyle \frac{1}{2k}}$$ であり，$k\to \mathrm{\infty }$ のとき $\cos \alpha \to 0$，すなわち $\alpha \to \pi \mathrm{/}2$ である。

また，$$Q=(-\cos \beta ,-\sin \beta )$$ を曲線に代入すると $$-\sin \beta ={\cos }^2\beta -2k\cos \beta$$ であるから $$2k\cos \beta =\sin \beta +{\cos }^2\beta$$ である。右辺は2以下なので $$0<\cos \beta \leqq {\displaystyle \frac{1}{k}}$$ であり，$k\to \mathrm{\infty }$ のとき $\cos \beta \to 0$，すなわち $\beta \to \pi \mathrm{/}2$ である。

さらに$$0\leqq k\mathrm{\mid }{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\beta \mathrm{\mid }\leqq k({\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta )\leqq {\displaystyle \frac{1}{4k}}+{\displaystyle \frac{1}{k}}$$であるから $k({\cos }^2\alpha -{\cos }^2\beta )\to 0$ である。

以上を(2)の式に代入すると，$\pi -\alpha -\beta \to 0$，$\sin \alpha \cos \alpha \to 0$，$\sin \beta \cos \beta \to 0$，また3乗の項も0へ近づく。したがって ${\lim }_{k\to \mathrm{\infty }}S(k)=0$ である。

図は一例（$k=3\mathrm{/}2$）。求める領域は $Q$ から $P$ まで、円の上側の弧と放物線にはさまれる。