Evolton

東北大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

xyz空間において、点(1,0,1)と点(1,0,2)を結ぶ線分をlとし、
lをz軸のまわりに一回転してできる図形をAとする。
Aをx軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ。

難易度6/ 10計算量4/ 10目安20分

積分、図形と方程式　体積計算

方針

線分 l を z 軸まわりに回すと、半径 1、高さ 1 の円柱側面 A になる。次に A を x 軸のまわりに回した立体を、x を固定した断面で見る。x が -1 から 1 まで動くとき、元の円柱側面では y2=1−x2、1≦z≦2 である。これを x 軸まわりに回すと、断面は内半径 2−x2、外半径 5−x2 の円環になり、面積が 3π と一定になるので積分する。

解答

線分 l は点 (1,0,1) と点 (1,0,2) を結ぶので、z 軸からの距離は常に 1 であり、z は 1 から 2 まで動く。したがって、l を z 軸のまわりに1回転してできる図形 A は x2+y2=1,1≦z≦2 で表される円柱の側面である。

この A を x 軸のまわりに回転してできる立体を、x に垂直な平面で切る。A 上では −1≦x≦1,y2=1−x2,1≦z≦2 である。固定した x に対して、x 軸からの距離の2乗は y2+z2=1−x2+z2 である。z が 1 から 2 まで動くので、回転後の断面は半径 1−x2+1=2−x2 から 1−x2+4=5−x2 までの円環である。

したがって断面積は π{(5−x2)−(2−x2)}=3π で一定である。よって体積は ∫−113π dx=6π である。

x を固定した回転後の断面は、面積 3π の円環になる。

総評

難度6、計算量4。2回の回転を一度に想像しようとすると複雑に見えるが、最初の回転で円柱側面ができることを確認し、次に x 固定の断面で見ると円環になる。内半径・外半径は y2+z2 で決まるため、z=1 と z=2 を入れるだけでよい。断面積が 3π と一定になる点に気づくと計算は短い。空間図形の把握に時間を使い、式の処理は10分程度で終えたい。

冊子PDFで見る東北大の積分の問題で問題集を作る

出典: 東北大学 2007年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。