東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
点の座標の絶対値を $d$ とする。$d=1,2,\dots ,6$ のとき，1回のサイコロで原点に移るのは，出た目がちょうど $d$ の場合である。したがって，1回で終了する確率は常に ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ である。

また，1回で終了しなかった場合，移動後の原点からの距離は $\mathrm{\mid }d-k\mathrm{\mid }$ であり，これは $1,2,\dots ,5$ のいずれかである。したがって再び「距離が1から6の範囲にある」状態に戻る。

ちょうど2回で終了するには，1回目で終了せず，2回目で終了すればよい。よって求める確率は $${\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{36}}$$ である。

(2)
同じ考え方で，ちょうど3回で終了するには，最初の2回は終了せず，3回目で終了すればよい。したがって $${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^2{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{25}{216}}$$ である。

(3)
初めの座標が7のとき，1回目に出る目は $1$ から $6$ なので，1回では原点に到達しない。1回目の後の原点からの距離は $\mathrm{\mid }7-k\mathrm{\mid }=1,2,3,4,5,6$ のいずれかである。

したがって $n=1$ のとき，求める確率は $0$ である。$n\geqq 2$ のときは，1回目の後に距離 $1$ から $6$ の状態となり，そこからちょうど $n-1$ 回目に終了すればよい。上で見たように，距離 $1$ から $6$ の状態では「終了しない」を $n-2$ 回続け，最後に終了する確率は ${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-2}{\displaystyle \frac{1}{6}}$ である。よって$$\{\begin{array}{ll}0& (n=1),\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-2}& (n\geqq 2)\end{array}$$である。