東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
点の座標の絶対値を $d$ とする。$d=1,2,\dots ,6$ のとき，1回で原点へ移るのは，サイコロの目がちょうど $d$ の場合である。したがって1回で終了する確率は ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ であり，終了しない確率は ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ である。終了しなかった場合も，次の距離は $1$ から $6$ の範囲に戻る。

よってちょうど3回で終了する確率は，最初の2回で終了せず，3回目で終了する確率だから $${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^2{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{25}{216}}$$ である。

(2)
同じ理由により，ちょうど $m$ 回で終了するには，最初の $m-1$ 回で終了せず，$m$ 回目で終了すればよい。したがって ${\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{m-1}$ である。

(3)
初めの座標が8のとき，1回目の後の距離は $\mathrm{\mid }8-k\mathrm{\mid }=2,3,4,5,6,7$ のいずれかであり，それぞれ確率 $1\mathrm{/}6$ で起こる。

まず $n=1$ のときは原点に届かないので，確率は $0$ である。

次に $n=2$ を考える。2回目で終了できるのは，1回目の後の距離が $2,3,4,5,6$ のいずれかである場合だけである。これは5通りで，その後に対応する目を出す確率が $1\mathrm{/}6$ だから $${\displaystyle \frac{5}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{36}}$$ である。

最後に $n\geqq 3$ とする。1回目の後の距離が $2,3,4,5,6$ の場合は，そこからさらに $n-1$ 回目で終了する確率が ${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-2}{\displaystyle \frac{1}{6}}$ である。これが5通り分あるので寄与は$${\displaystyle \frac{5}{6}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-2}{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{36}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-2}$$である。

一方，1回目の後の距離が7の場合は，そこから1回では終了できない。距離7からちょうど $r$ 回で終了する確率は，$r\geqq 2$ のとき ${\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{r-2}$ である。ここでは $r=n-1$ なので，この寄与は$${\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-3}={\displaystyle \frac{1}{36}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-3}$$である。

したがって $n\geqq 3$ では$${\displaystyle \frac{5}{36}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-2}+{\displaystyle \frac{1}{36}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-3}={\displaystyle \frac{31}{216}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-3}$$となる。結論は$$\{\begin{array}{ll}0& (n=1),\\ {\displaystyle \frac{5}{36}}& (n=2),\\ {\displaystyle \frac{31}{216}}{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-3}& (n\geqq 3)\end{array}$$である。