東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1)
5ステップで値3に到達するには，$+1$ が4回，$-1$ が1回でなければならない。また，ちょうど5ステップで初めて $A$ に到達するので，最後のステップは $+1$ である。

したがって，初めの4ステップには $+1$ が3回，$-1$ が1回含まれる。ただし，初めの3ステップがすべて $+1$ であると，3ステップ目で値3に到達して停止してしまう。よって $-1$ の位置は初めの3ステップのどこかであり，3通りである。

したがって求める確率は $${\displaystyle \frac{3}{2^5}}={\displaystyle \frac{3}{32}}$$ である。

(2)
6ステップ後に値2にいるには，$+1$ が4回，$-1$ が2回である。全体では ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りである。

このうち，途中で値3に到達する経路を除く。値3に到達した経路について，初めて値3に到達した時点までの $+1$ と $-1$ を入れ替えると，6ステップ後に値4へ到達する経路に対応する。6ステップ後に値4へ到達するには $+1$ が5回，$-1$ が1回であるから ${}_6{\mathrm{C}}_1=6$ 通りである。

したがって，途中で3に到達せず6ステップ後に2にいる経路は $15-6=9$ 通りである。よって確率は $${\displaystyle \frac{9}{2^6}}={\displaystyle \frac{9}{64}}$$ である。

(3)
8ステップ以上移動するとは，7ステップ終了時までに値3へ到達しないことである。値3以上へ初めて到達する場合は，必ず値3に到達するので，7ステップの間ずっと値2以下にいる経路を数えればよい。

各ステップ後の位置ごとに，値3へ到達していない経路数を数える。7ステップ目まで順に数えると，7ステップ後に可能な位置と経路数は $-7:1,-5:7,-3:21,-1:34,1:28$ である。これらの合計は $1+7+21+34+28=91$ である。

したがって求める確率は $${\displaystyle \frac{91}{2^7}}={\displaystyle \frac{91}{128}}$$ である。

$N_r(j)$ を「$r$ ステップ後に $j$ にいて、それまで一度も3へ到達していない経路数」と定める。境界 $j=3$ の経路を捨てながら $N_{r+1}(j)=N_r(j-1)+N_r(j+1)$ を更新すれば、3つの小問を同じ表から読み取れる。

$N_r(j)$ を、原点から出発して $r$ ステップ後に $j$ におり、途中で一度も $3$ に到達していない経路の個数とする。初期値は $N_0(0)=1$ であり、$j\leqq 2$ に対して$$N_{r+1}(j)=N_r(j-1)+N_r(j+1)$$で更新する。ただし $3$ に達した経路は以後数えない。

(1)
4ステップ後に $2$ にいて未停止である経路数は $N_4(2)=3$ である。5歩目は必ず $+1$ だから、求める確率は$${\displaystyle \frac{3}{2^5}}={\displaystyle \frac{3}{32}}\mathrm{.}$$(2)
表を6ステップまで更新すると $N_6(2)=9$ である。したがって$${\displaystyle \frac{9}{2^6}}={\displaystyle \frac{9}{64}}\mathrm{.}$$この数え方では、途中で $3$ に達して停止する経路は更新時にすでに除かれている。

(3)
8ステップ以上移動するとは、7ステップ終了時点でまだ停止していないことである。7ステップ後の未停止経路数は$$\begin{array}{cccccc}j& -7& -5& -3& -1& 1\\ N_7(j)& 1& 7& 21& 34& 28\end{array}$$である。合計は $91$ だから$${\displaystyle \frac{91}{2^7}}={\displaystyle \frac{91}{128}}\mathrm{.}$$