東北大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $BD=x$、$AB=c$ とおく。D は角 A の二等分線と BC の交点であるから、角の二等分線定理より $${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$$ である。すなわち $${\displaystyle \frac{x}{3}}={\displaystyle \frac{c}{4}}$$ なので $$x={\displaystyle \frac{3c}{4}}$$ である。

三角形 ABC は C を直角とし、$AC=4$、$BC=BD+DC=x+3$ である。したがって三平方の定理より $$c^2=4^2+{(3+{\displaystyle \frac{3c}{4}})}^2$$ である。整理すると $7c^2-72c-400=0$ となり、$c>0$ より $$c={\displaystyle \frac{100}{7}}$$ を得る。よって $$BC=3+{\displaystyle \frac{3c}{4}}=3+{\displaystyle \frac{75}{7}}={\displaystyle \frac{96}{7}}$$ である。したがって $$\sin \theta ={\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{96\mathrm{/}7}{100\mathrm{/}7}}={\displaystyle \frac{24}{25}}$$ である。

(2)

三角形 ABC は直角三角形であるから $$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。また $$\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}=\sin {75}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$$ である。与えられた近似値を用いると $${\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}>{\displaystyle \frac{2.44+1.414}{4}}>0.963$$ であり、一方 $${\displaystyle \frac{24}{25}}=0.96$$ である。したがって $$\sin \theta <\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$$ である。正弦は $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ で増加するので $$\theta <{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$$ が従う。

$AD$ は $\mathrm{\angle }A$ の二等分線。角の二等分線定理と三平方を組み合わせる。

角の二等分線定理から $BC\mathrm{/}(AB+AC)=3\mathrm{/}4$ を得る。角の二等分線の長さの公式へ直接代入して $AB$ を求め、直角三角形の正弦を計算する。

(1) $AB=c$ とおく。角の二等分線定理から$${\displaystyle \frac{BD}{DC}}={\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{c}{4}}$$なので$$BC=BD+DC={\displaystyle \frac{3c}{4}}+3={\displaystyle \frac{3(c+4)}{4}}\mathrm{.}$$角 $A$ の二等分線の長さについて$$A{D}^2=AB\cdot AC\{1-{\displaystyle \frac{B{C}^2}{(AB+AC{)}^2}}\}$$が成り立つ。したがって$$25=4c(1-{\displaystyle \frac{9}{16}})={\displaystyle \frac{7c}{4}},$$よって $c=100\mathrm{/}7$ である。このとき$$BC={\displaystyle \frac{3(c+4)}{4}}={\displaystyle \frac{96}{7}}\mathrm{.}$$$\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$ だから$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{BC}{AB}}={\displaystyle \frac{96\mathrm{/}7}{100\mathrm{/}7}}={\displaystyle \frac{24}{25}}\mathrm{.}$$(2) $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ であり、$$\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}>{\displaystyle \frac{2.44+1.414}{4}}>0.96={\displaystyle \frac{24}{25}}\mathrm{.}$$正弦は $(0,\pi \mathrm{/}2)$ で増加するので$$\theta <{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$$である。