東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
与えられた多項式は $$f(x)=x^3+(2a-4)x^2+(a^2-4a+4)x=x\{x+(a-2){\}}^2$$ である。すなわち $f(x)=x\{x-(2-a){\}}^2$ である。

したがって $f(x)=0$ の実数解は $x=0,x=2-a$ である。ただし $x=2-a$ は重解である。方程式が2つの異なる実数解をもつためには，この2つが一致しなければよいから $2-a\mathrm{\ne }0$ である。よって求める範囲は $a\mathrm{\ne }2$ である。

(2) $r=2-a$ とおく。(1)の範囲では $r\mathrm{\ne }0$ であり，$f(x)=x(x-r{)}^2$ である。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x-r{)}^2+2x(x-r)=(x-r)(3x-r)$$ である。したがって停留点は $$x=r,x={\displaystyle \frac{r}{3}}$$ である。

まず $a<2$，すなわち $r>0$ のとき，2つの停留点は $${\displaystyle \frac{r}{3}}<r$$ の順に並ぶ。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x-r)(3x-r)$ の符号は，$x=r\mathrm{/}3$ で正から負に，$x=r$ で負から正に変わる。よって $$x={\displaystyle \frac{r}{3}}={\displaystyle \frac{2-a}{3}}$$ で極大，$x=r=2-a$ で極小である。値は$$f\left({\displaystyle \frac{r}{3}}\right)={\displaystyle \frac{r}{3}}{(-{\displaystyle \frac{2r}{3}})}^2={\displaystyle \frac{4r^3}{27}}={\displaystyle \frac{4(2-a{)}^3}{27}}$$であり，$f(r)=0$ である。

次に $a>2$，すなわち $r<0$ のとき，2つの停留点は $$r<{\displaystyle \frac{r}{3}}$$ の順に並ぶ。この場合，$x=r$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は正から負に変わり，$x=r\mathrm{/}3$ で負から正に変わる。したがって $x=r=2-a$ で極大，$$x={\displaystyle \frac{r}{3}}={\displaystyle \frac{2-a}{3}}$$ で極小である。値は $f(r)=0$ であり，$$f\left({\displaystyle \frac{r}{3}}\right)={\displaystyle \frac{4r^3}{27}}=-{\displaystyle \frac{4(a-2{)}^3}{27}}$$ である。

(3)
極大点だけを取り出す。 $a>2$ のときは，(2)より極大点は $(x,y)=(2-a,0)$ である。このとき $x=2-a<0$ であり，$a$ が $2<a$ を動くと $x$ はすべての負の値をとる。したがってこの部分の軌跡は $y=0(x<0)$ である。 $a<2$ のときは，極大点は $$x={\displaystyle \frac{2-a}{3}},y={\displaystyle \frac{4(2-a{)}^3}{27}}$$ である。ここで $x=(2-a)\mathrm{/}3$ だから $2-a=3x$ であり，$a<2$ より $x>0$ である。したがって $$y={\displaystyle \frac{4(3x{)}^3}{27}}=4x^3$$ となる。この部分の軌跡は $y=4x^3(x>0)$ である。

よって求める図形は $$y=0(x<0),y=4x^3(x>0)$$ である。原点は $a=2$ に対応するが，$a=2$ は(1)の範囲に含まれないので，原点は含まない。

青い半直線は $x<0$、紫の曲線は $x>0$。原点はどちらにも含まれない。