東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $\mathrm{\angle }{A}_{1}O{A}_2=\varphi$ とおく。$\mathrm{△}O{A}_1{A}_2$ は $A_2$ で直角であり，$O{A}_1=1$，$O{A}_2=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ である。したがって $O{A}_1$ が斜辺であり，$$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{O{A}_2}{O{A}_1}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。また $$\sin \varphi =\sqrt{1-{\cos }^2\varphi }=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$ である。

最初の長さは $$A_1{A}_2=O{A}_1\sin \varphi =\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$ である。次に $A_2$ から $O{A}_1$ に垂線を下ろすと，できる直角三角形は前のものと同じ角 $\varphi$ をもつので，垂線の長さは前の長さの $\cos \varphi$ 倍になる。この操作が繰り返されるから $$A_k{A}_{k+1}=A_1{A}_2(\cos \varphi {)}^{k-1}$$ である。よって$$A_k{A}_{k+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{k-1}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3^{k\mathrm{/}2}}}$$である。

(2) $$\overrightarrow{h_k}=\overrightarrow{A_k{A}_{k+1}}$$ であるから，(1)より $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{h_k}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3^{k\mathrm{/}2}}}$$ である。

隣り合う $\overrightarrow{h_k}$ と $\overrightarrow{h_{k+1}}$ は，交互に2本の半直線へ垂直に下ろされる向きのベクトルである。向きまで含めて考えると，そのなす角の余弦は $$-\cos \varphi =-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。したがって$$\overrightarrow{h_k}\cdot \overrightarrow{h_{k+1}}=\mathrm{\mid }\overrightarrow{h_k}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{h_{k+1}}\mathrm{\mid }(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})$$であり，(1)の長さを代入して $$\overrightarrow{h_k}\cdot \overrightarrow{h_{k+1}}=-{\displaystyle \frac{2}{3^{k+1}}}$$ を得る。

よって$$\sum _{k=1}^n\overrightarrow{h_k}\cdot \overrightarrow{h_{k+1}}=-\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{2}{3^{k+1}}}$$である。等比数列の和より$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{2}{3^{k+1}}}={\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{1-(1\mathrm{/}3{)}^n}{1-1\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}})$$だから$$\sum _{k=1}^n\overrightarrow{h_k}\cdot \overrightarrow{h_{k+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}(1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}})$$である。

2本の半直線への直交射影を交互に繰り返すため、各線分の長さは一定比で縮む。